Consideremos la siguiente suma de Euler: \begin{equation} \sum\limits_{m=1}^\infty \frac{H_m^{(2)}}{m^6} = \zeta(6,2) + \zeta(8) \end{equation} donde $\zeta(,)$ es la función zeta múltiple. Como resultado de los cálculos en Cálculo de sumas alternas de Euler de potencias Impares No pude reducir esa cantidad a funciones zeta simples. La cuestión es hacer eso o de lo contrario demostrar que es imposible.
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El peso de un valor zeta múltiple $\zeta(s_1,\ldots,s_k)$ es $s_1+\ldots +s_k$ . Se sabe que todo valor zeta múltiple de peso a lo sumo $7$ puede escribirse en términos de valores zeta individuales, pero conjeturalmente $\zeta(6,2)$ no puede escribirse en términos de valores zeta individuales. En la literatura de MZV se puede encontrar esta afirmación para $\zeta(5,3)$ pero esto implica la afirmación para $\zeta(6,2)$ porque $$ \zeta(6,2)=-\frac{42}{125}\zeta(2)^2+2\zeta(3)\zeta(5)-\frac{2}{5}\zeta(5,3). $$ Leí la identidad en la línea anterior fuera de la Mina de datos MZV .
Para demostrar $\zeta(6,2)$ no está en el álgebra generada por los valores zeta individuales es un problema abierto, y se espera que problemas como éste sean bastante difíciles. Ni siquiera se sabe que $\zeta(6,2)$ es irracional. Sin embargo, esta afirmación se derivaría de una forma de la conjetura del período de Grothendieck.
jayunit100
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Esto no va a ser una respuesta a la pregunta de si la zeta múltiple está en el álgebra de los valores zeta simples. Sin embargo, esta respuesta explica los mecanismos que rigen las relaciones entre todos los valores zeta bidimensionales en las dos unidades más. En otras palabras, esta respuesta explica por qué se produce la irreductibilidad en el peso ocho y, además, cuáles son los ingredientes básicos a los que se pueden reducir las cantidades en cuestión para pesos superiores.
Fijemos el peso en $P$ . Aquí asumimos que $P$ es incluso desde que se ha resuelto el caso impar. A partir de las consideraciones de Cálculo de sumas alternas de Euler de potencias Impares sabemos que se mantienen las siguientes relaciones de recursión: \begin{eqnarray} &&{\bf H}^{(2 q)}_{P-2 q}(+1) +\sum _{l=1}^{P-2 q} {\bf H}^{(l)}_{P-l}(+1) \cdot\text{A2}(P,q,l)=\\ &&\sum_{l=P-2 q}^{\frac{P}{2}-1} (-1)^l \zeta (l) \zeta (P-l) \binom{l-1}{P-2 q-1}+\frac{1}{2} (-1)^{P/2} \zeta \left(\frac{P}{2}\right)^2 \binom{\frac{P}{2}-1}{P-2 q-1}+\zeta (P)+\\ &&\sum _{l=2}^{\frac{P}{2}-1} (-1)^l \zeta (l) \zeta (P-l) \text{A1}(P,q,l)+\sum _{l=2}^{P-2 q} (-1)^0 \zeta (l) \zeta (P-l) \text{A2}(P,q,l) \end{eqnarray} donde $q=1,\cdots,P/2-1$ . Asimismo, \begin{eqnarray} &&{\bf H}^{(2q+1)}_{P-2q-1}(+1)+\sum _{l=1}^{P-2 q-2} {\bf H}^{(P-l)}_l(+1) \text{B2}(P,q,l) = \\ &&\sum _{l=(P-2 q-1)\vee 2}^{\frac{P}{2}-1} (-1)^{l+1} \zeta(l)\zeta(P-l) \binom{l-1}{P-2 q-2} +\frac{1}{2} (-1)^{\frac{P}{2}+1} \zeta(\frac{P}{2})^2\binom{\frac{P}{2}-1}{P-2 q-2} +\zeta(P)+\\ &&\sum _{l=0}^{\frac{P}{2}-1} (-1)^{l+1} \text{B1}(P,q,l) \zeta(P-l) (\zeta(l) 1_{l\ge 2}-\delta_{l,0}) \end{eqnarray} donde $q=0,\cdots,P/2-1$ . Los coeficientes se leen: \begin{eqnarray} A1(P,q,l) &:=& \sum _{j=\max (l-q,0)}^{\frac{P}{2}-q-1} \left(\frac{1}{2} \binom{j+q-1}{2 j-1}+\binom{j+q-1}{2 j+0}\right) \binom{-j-l+P-q-1}{j-l+q}\\ A2(P,q,l)&:=&\sum _{j=0}^{-\left\lfloor \frac{l}{2}\right\rfloor +\frac{P}{2}-q} \left(\frac{1}{2} \binom{j+q-1}{2 j-1}+\binom{j+q-1}{2 j+0}\right) \binom{-j-l+P-q-1}{j+q-1}\\ B1(P,q,l) &:=& \sum _{j=\max (0,\text{l}-q-1)}^{\frac{P}{2}-q-2} \left(\frac{1}{2} \binom{j+q+0}{2 j+0}+\binom{j+q+0}{2 j+1}\right) \binom{-j-\text{l}+P-q-2}{j-\text{l}+q+1}\\ B2(P,q,l) &:=& \sum _{j=0}^{\left\lfloor -\frac{\text{l}}{2}+\frac{P}{2}-q-1\right\rfloor } \left(\frac{1}{2} \binom{j+q+0}{2 j+0}+\binom{j+q+0}{2 j+1}\right) \binom{-j-\text{l}+P-q-2}{j+q+0} \end{eqnarray} En total tenemos $(P-1)$ ecuaciones para $(P-1)$ desconocidos. Ahora es muy fácil resolver esas ecuaciones utilizando cualquier paquete de manipulación simbólica como Mathematica, por ejemplo. Lo que parece es que el número de ecuaciones linealmente dependientes $\nu(P)$ depende del peso $P$ . De hecho lo hemos hecho: \begin{eqnarray} \nu(P) = \left\{ \begin{array}{rr} 0 & \mbox{if $P=2,4,6$}\\ 1 & \mbox{if $P=8,10,12$}\\ 2 & \mbox{if $P=14,16,18$}\\ \vdots \end{array} \derecho. \fin {eqnarray} Esto explica por qué el valor zeta 2D más bajo que no es reducible a valores zeta simples ocurre en el peso ocho. En este peso, el rango de la matriz correspondiente salta en uno.
Ahora bien, si, por ejemplo, tomamos $P=12$ las siguientes identidades se mantienen: \begin{eqnarray} \begin{array} -\zeta (11,1)-\zeta (5) \zeta (7)-\zeta (3) \zeta (9)+\frac{9 \zeta (12)}{4}=0\\ 0=0\\ -\zeta (9,3)-\frac{9}{2} (\zeta (10,2)+\zeta (12))+12 \zeta (5) \zeta (7)+9 \zeta (3) \zeta (9)-\frac{151 \zeta (12)}{8}=0\\ -\zeta (8,4)+8 (\zeta (10,2)+\zeta (12))-28 \zeta (5) \zeta (7)-16 \zeta (3) \zeta (9)+\frac{84023 \zeta (12)}{2073}=0\\ -\zeta (7,5)-7 (\zeta (10,2)+\zeta (12))+28 \zeta (5) \zeta (7)+14 \zeta (3) \zeta (9)-\frac{324319 \zeta (12)}{8292}=0\\ \frac{12 \zeta (12)}{691}-\zeta (6,6)=0\\ -\zeta (5,7)+7 (\zeta (10,2)+\zeta (12))-27 \zeta (5) \zeta (7)-14 \zeta (3) \zeta (9)+\frac{316027 \zeta (12)}{8292}=0\\ -\zeta (4,8)-8 (\zeta (10,2)+\zeta (12))+28 \zeta (5) \zeta (7)+16 \zeta (3) \zeta (9)-\frac{335375 \zeta (12)}{8292}=0\\ -\zeta (3,9)+\frac{9}{2} (\zeta (10,2)+\zeta (12))-12 \zeta (5) \zeta (7)-8 \zeta (3) \zeta (9)+\frac{143 \zeta (12)}{8}=0\\ -\zeta (2,10)-\zeta (10,2)+\frac{893 \zeta (12)}{1382}=0\\ -\zeta (1,11)+\zeta (5) \zeta (7)+\zeta (3) \zeta (9)-\frac{13 \zeta (12)}{4} =0 \end{array} \end{eqnarray} donde en la última línea $\zeta(1,11) := -\zeta(12)+\lim_{t \rightarrow 1} \left({\bf H}^{(11)}_1(t) + \log(1-t)\cdot Li_{11}(t)\right)$ . Este es el peso más alto en el que sólo entra un parámetro desconocido en las soluciones, a saber $\zeta(10,2)$ . Para los pesos $P=14,16,18$ habrá dos parámetros desconocidos, es decir $\zeta(P-2,2)$ y $\zeta(P-4,4)$ que entrarán en la solución. Entonces, de nuevo para los pesos $P=20,22,24$ habrá tres parámetros desconocidos, es decir $\zeta(P-2,2)$ , $\zeta(P-4,4)$ y $\zeta(P-6,6)$ en las soluciones. No es difícil ver el patrón genérico en eso.
