Deje $d_{k}$ ser supremum de el mínimo de las distancias entre pares de cualquier $k$ puntos en la plaza de la unidad. Es $kd_{k}$ delimitada como $k\rightarrow\infty$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Calvin Lin
Puntos
33086
El centro hexagonal de números de la forma $3k(k+1) + 1$. Esto nos permite poner a $3k(k+1) + 1$ puntos cuya distancia mínima aparte es $\frac{1}{k-1}$.
Por lo tanto, para $n = 3k(k+1) + 1$, $d_n \geq \frac{1}{k-1}, $ que da $ n d_n \geq \frac{ 3k(k+1)+1}{k-1} > 3k $. Por lo tanto, la secuencia es ilimitado.
De hecho, esto demuestra que para $\alpha > \frac{1}{2}$, $ n^ \alpha d_k$ es ilimitado.
Este fue cero trabajo para motivar a que la secuencia es ilimitado. Se calcula una cota superior para $d_n$.
Fix $n$. queremos calcular un $r$ tal de que nos vamos a encontrar con 2 puntos de distancia en la mayoría de las $r$ aparte.
Considere la posibilidad de círculos de radio $\frac{r}{2}$ sobre cada punto. Estos se encuentran dentro de un círculo de radio $1+\frac{r}{2}$ Si alguno de los pequeños círculos que se superponen, tenemos nuestros 2 puntos. Por lo tanto, si
$$ n r^2 < (2 +r)^2 \Rightarrow (n-1)r^2 - 4r - 4 < 0,$$
a continuación, se pueden encontrar 2 puntos que están dentro de $r$ de cada uno de los otros. Podemos resolver esto por $r$ conseguir $ r = \frac {4 + \sqrt{ 16+4(n-1)}} {2(n-1)} $
Esto sugiere fuertemente que las $nr$ es ilimitado, y, de hecho, crece como $\sqrt n$. En este punto, me gustaría sugerir encontrar construcciones que se ven como panal de embalaje.
