¿Cómo puede el surd $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ se expresa?

Question

Me preguntaba cómo $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ podría ser expresada en términos de $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$. Me hizo tratar de resolver tanto las expresiones por separado, pero ninguno de ellos parecía coincidir. Agradecería si alguien podría mencionar también el procedimiento

Answer 1

Teorema: Dado un entramado radical de la forma $\sqrt{X\pm Y}$, puede escribirse en la forma $$\sqrt{\frac {X+\sqrt{X^2-Y^2}}{2}}\pm\sqrt{\frac {X-\sqrt{X^2-Y^2}}{2}}\tag{1}$$ Donde $X>Y$.

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Por lo tanto, tenemos $X=2,Y=\sqrt{3}$ porque $2>\sqrt{3}$. Para conectar ese a $(1)$ nos da $$\sqrt{\frac {2+\sqrt{4-3}}{2}}-\sqrt{\frac {2-\sqrt{4-3}}{2}}\tag{2}$$ Simplificando $(2)$ nos da $$\sqrt{\frac {2+1}{2}}-\sqrt{\frac {2-1}{2}}\implies \sqrt{\frac 32}-\sqrt{\frac 12}$$

$$\therefore\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac {\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$$