Se puede comprobar con la mano si la Tate módulo de una curva elíptica es semi-simple

Question

Deje $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb Q$, e $\ell$ un número primo. A continuación, el $\ell$-ádico Tate módulo de $V_\ell(E)$ $E$ es semi-simple como un $\mathbb Q_\ell$-representación de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)$.

Sería muy instructivo ver algunos ejemplos explícitos, pero no sé por dónde empezar.

Por ejemplo, supongamos $E$ ser dado por $y^2 = x^3+1$ y deje $\ell = 5$. ¿Cómo puedo ver directamente que $H^1(E,\mathbb Q_5)$ es semi-simple?

Answer 1

Has intentado buscar en Serre "Abelian $\ell$-ádico representaciones y curvas elípticas"? Que podría arrojar algo de luz.

Si desea solo algunos ejemplos, se puede ver en curvas elípticas con CM [que incluye el caso de $y^2 = x^3 + 1$ se dio anteriormente, como Lubin comentario de los puntos de salida]. Aquí usted puede, literalmente, anote el Galois representación; es inducida a partir de un carácter $\psi$ del grupo de Galois de un imaginario cuadrática campo y la irreductibilidad es inmediata a partir del hecho de que $\bar\psi \ne \psi$.