¿Por qué es $\sin(xy)/y$ continua?

Question

A mí y a mis compañeros están crujiendo esta pregunta por un tiempo ahora. Si bien sabemos que la $\sin(xy)$ es continua , $1 / y $ como la otra parte de la función tiene claramente una continuidad de la brecha en $y = 0 $, a pesar de que la función puede ser continuado en el $y = 0$ $f(x,0) = 0 $ - ¿por qué? Hemos probado algunas cosas, pero no llegar a el paso importante que demuestra la materia.

Answer 1

Recuerda que, por $z$ real, $|sin (z)| \leq |z|$.

Answer 2

Supongo que la pregunta es por qué la función es continua para $x,y$ $\mathbb{R}$ ...

La función es obviamente continua en todos los $(x,y)$ donde $x$ $y$ son no-cero. Vamos a estudiar el $3$ de los casos, cuando $x=0$, $y=0$, y $(x,y)=(0,0)$

1.Deje $x$ ser cualquiera distinto de cero número Real: $\frac{\sin(xy)}{y} = \frac{\sin(xy)}{xy}x \to 1\times x$ al $y\to0$, por lo que la función es continua y el límite es de $x$

1. Sea y cualquiera distinto de cero número Real: $\frac{\sin(xy)}{y} = 0$ al $x=0$, obvio continua

2. Al$(x,y)\to(0,0)$, $1$ $2$ por encima de, la función tiene un límite, $0$.

Answer 3

Usted puede reemplazar a $f(x, 0) = x$. Vamos a arreglar $x = a\neq 0$. A continuación, la función se convierte esencialmente en $g(y) = \frac{\sin (ay)}{y}$. Para averiguar el límite de la "$g(0)$", podemos sustituir el $z = ay$: $$ \lim_{y \to 0}f(a, y) = \lim_{z \to 0}\frac{\sen z}{z/a} = a\cdot\lim_{z \to 0}\frac{\sen z}{z} = a $$ Para$x = 0$, $f(0, y) = 0$ para los no-cero $y$, lo $f(0, 0) = 0$ es una extensión natural en el origen.

Answer 4

Este parece ser malo si la pregunta es si la función de $$ f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}:(x,y) \mapsto \frac{\sin(xy)} de{y}, $$ extendida por $0$ donde $y=0$ es continua. Tomar cualquier punto de $(a,0)$. A continuación, $(a,1/n)$ es una sucesión que converge a este punto, así que por la continuidad de la $f(a,1/n)$ deben converger a $f(a,0)=0$. Sin embargo $$ \frac{\sin(a/n)}{1/n}=\frac{\sin(a/n)}{a/n} \cdot a \a, $$ así que si en cualquier lugar, sólo puede ser continua en el origen.

Answer 5

La expresión $$f(x,y):={\sin(xy)\over y}$$ es en el valor de cara indefinido al $y=0$, pero espera: Cuando $y\ne 0$ uno tiene la identidad $${\sin(xy)\over y}=\int_0^x\cos(t\>y)\ dt\ .$$ Aquí el lado derecho es obviamente una función continua de la $x$$y$${\mathbb R}^2$. De ello se desprende que el $f$ puede ser extendida de forma continua para el plano completo de una manera única.