Subgrupo generado por Sylow p-subgrupos es normal.

Question

Esta es una parte de una tarea de que se trate. Si se demuestra este hecho, a continuación, el resto de que el problema está resuelto.

Deje $G$ ser un grupo finito y deje $H$ ser el subgrupo generado por todos los Sylow p-subgrupos. Queremos mostrar a $H\lhd G$. Aquí está mi razonamiento hasta el momento:

Al principio, pensé que $H$ contenía todos y sólo los elementos de $G$ orden $p^k$ algunos $k>0$. Si este fuera el caso, entonces $ghg^{-1}$ tendría el mismo orden como $h$, $p^k$ algunos $k$. Eso significaría que el $ghg^{-1}\in H$, por lo que nos llevaría a cabo si se podía demostrar que $H$ no es un p-grupo. Para que, si se tratara de un p-grupo, que contiene un Sylow p-subgrupo de $G$, una contradicción.

También, mi primera declaración acerca de la $H$ contiene todos y sólo los elementos de $G$ es sospechosa. Cualquier ayuda se agradece. Gracias.

Answer 1

Otro enfoque: vamos a $\,X_p:=\{P\leq G\;\;;\;\;P\,\,\text{is a Sylow}\,\,p-\text{subgroup}\}\,$ .

Ahora, por los teoremas de Sylow sabemos que

$$\forall \,x\in G\,\,\forall\,P\in X_p\;\;,\;P^x:=x^{-1}Px\in X_p\Longrightarrow \langle\,X_p\,\rangle^x=\langle\,X_p\,\rangle\Longrightarrow \,\langle\,X_p\,\rangle\triangleleft G$$