Son todas las matrices simétricas con autovalores positivos de un producto de una matriz y su transpuesta?

Question

Dado un $m \times n$ matriz $A$, es fácil mostrar que la matriz de productos $B = A^TA$ $C = AA^T$ son simétricas. Me preguntaba si cualquier matriz simétrica positiva autovalores podría ser expresado como el producto de una matriz y su transpuesta?

Nota: Es obvio que, si los valores propios son no todos positiva, entonces este no es el caso, como $A^TA$ $AA^T$ tanto tiene que ser positivo semidefinite. Sin embargo, esto es todo lo que puedo pensar con respecto a este problema.

Answer 1

No importa, acabo de recibir esto. Yo voy a dejar mi respuesta en caso de que alguien más lo encuentra útil.

Cualquier matriz simétrica $A$ tiene que ser ortogonal diagonalisable, que es, $A = PDP^T$ para algunos matriz diagonal $D$ ortogonal de la matriz $P$. En este caso por la diagonalisation teorema, la diagonal de los valores de $D$ son los autovalores de a $A$, todos los cuales son dados a ser $\geq 0$. Por lo tanto, uno puede "raíz cuadrada" $D$ $D = M^2$ donde $M$ es una matriz diagonal con las raíces cuadradas de los valores de la diagonal de a $D$ en su diagonal, que es, $m_{ii} = \sqrt{d_{ii}}$ $m_{ij} = 0$ si $j \neq i$. Por lo tanto:

$$A = PM^2P^T = (PM)(MP^T) = (H)(M^TP^T) = (MP)(PM)^T$$

Answer 2

Una respuesta directa es que, si una matriz es simétrica y tiene $>0$ autovalores, por lo tanto es simétrica positiva definida la matriz, tiene una descomposición de Cholesky $A=C^TC$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition), con una triangular superior $C$.