* "Finite and Infinite Goods".

Question

¿Tiene a alguien que compruebe la veracidad de mis pruebas?

Teorema. Deje $H$ ser un no-vacío es subconjunto de un grupo finito $G$. A continuación, $H$ es un subgrupo de $G$ fib $H$ es cerrado bajo la operación.

Prueba. Si $H$ es un subgrupo entonces es cerrado. Suppsoe $H$ es cerrado.

1. La asociatividad de la siguiente manera de $G$
2. Desde $H$ es finito, no existe $x,y\in \mathcal N$ $x\gt y$ tal que $g^x=g^y$ donde $g\in H$. Por lo $g^{x-y}=e$ (la identidad). $e=g^{x-y}\in H$ porque es cerrado.
3. $gg^{x-y-1}=e$ $g^{-1}=g^{x-y-1}\in H$ nuevo porque es cerrado.

Therorem. Deje $H$ ser un no-vacío es subconjunto de un grupo de $G$. A continuación, $H$ es un subgrupo de $G$ fib $gh^{-1}\in H, \forall g,h\in H$

Prueba. Si $H$ es un sugroup, a continuación, $gh^{-1}\in H$ al cierre y a la recíproca. Supongamos que $gh^{-1}\in H$ todos los $g,h\in H$.

1. La asociatividad de la siguiente manera de $G$
2. $gg^{-1}=e\in H$
3. $eg^{-1}=g^{-1}\in H$
4. $h^{-1}\in H$ todos los $h\in H$, lo $g(h^{-1})^{-1}=gh\in H$

Answer 1

Algunos comentarios:

• Yo prefiero "la Asociatividad es heredado de G", aunque esto es una opinión personal.

• En ambas pruebas, no se usa el no-vacío de $H$. "Desde $H$ es no-vacío, no existe $g \in H$."

• Me siento incómodo con la posibilidad de que $x-y-1=0$$gg^{x-y-1}$, sin definir lo $g^0$ es.

• También parece ser un poco informal en la escritura de la segunda prueba; ¿qué es $g$?, ¿qué es $h$?, etc. Por qué no explicar lo que ha demostrado en cada paso? "Por lo tanto, el elemento de identidad es en $H$." "y por Lo tanto, $g \in H$ implica $g^{-1} \in H$."

• Yo creo que en general $\forall$ $\exists$ debe ser utilizado sólo en la lógica formal, o como una pizarra de acceso directo.

• Finalmente, para demostrar el Teorema 2, después de haber demostrado el Teorema 1, sólo se necesita de cierre.

Answer 2

La prueba parece buena; pero la comprobación acerca de la asociatividad no es necesario.

He aquí cómo me gustaría probar esta proposición.

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Lo que tiene que demostrar es que el $1\in H$ y de que, por cualquier $x\in H$,$x^{-1}\in H$, bajo la hipótesis de que la $H$ no está vacío y cerrado bajo la operación en $G$.

Desde $H$ no está vacío, hay un elemento $y\in H$. Definir el mapa $$ f\colon H\H\qquad f(x)=xy. $$ Esto está bien definido, por el cierre de $H$ bajo la operación. Ahora $f$ es un inyectiva mapa: en efecto, si $x_1,x_2\in H$$f(x_1)=f(x_2)$,$x_1y=x_2y$, de donde $x_1yy^{-1}=x_2yy^{-1}$ (esto se puede hacer en $G$, que es un grupo).

Desde $H$ es finito, llegamos a la conclusión de que $f$ es surjective. En particular, no existe $e\in H$ tal que $f(e)=y$$ey=y$, lo que significa que $e=1$.

Así pues, hemos demostrado que $1\in H$; así que no es de$z\in H$$f(z)=1$, lo que significa que $zy=1$, $z=y^{-1}\in H$.

Desde $y$ es un elemento arbitrario de $H$, hemos terminado.

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Tenga en cuenta que nosotros no necesitamos $G$ a un ser finito.