Para ser más precisos, vamos a $\alpha$ ser cualquier ordinal infinito. Quiero mostrar que existe una inyección desde el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\alpha$ a $\alpha$. Con el axioma de elección es clara, porque la unión de $\aleph_0 \leq | \alpha|$ muchos conjuntos de cardinalidad $|\alpha^n| =|\alpha |$, es de nuevo de cardinalidad $\leq | \alpha |$ (por un conocido teorema que utiliza el axioma de elección), y claramente el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\alpha$ puede ser inyectado en la $\bigcup_{1 \leq n \in \omega} \alpha^n$. Pero es este el resultado sigue siendo cierto sin el axioma de elección? He estado tratando de definir un bijection de forma explícita ("codificación"), pero no parece funcionar. Sé que tales pruebas para el caso de $\alpha = \omega$. Pero a menos que me equivoco, no parecen generalizar de forma directa a más, los números ordinales.
Respuesta
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El axioma de elección no es necesario probar que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de un infinito ordinal $\alpha$ admite un uno-a-uno el mapa en $\alpha$. Aquí está una exageración de la prueba: El ordinal $\alpha$ y el conjunto de sus subconjuntos finitos son miembros de Gödel del universo construible $L$. El axioma de elección tiene en $L$, lo $L$ contiene una inyección de $f$ de la que desee ordenar. Pero, a continuación, $f$ es también una inyección de la especie en el universo completo $V$.
Creo que también he visto completamente explícito construcciones de inyecciones (o incluso bijections) de la que desee ordenar, pero no puedo encontrar una referencia justo ahora. (Por "completamente explícito", me refiero a algo mejor que la de "el constructibly primero de esos bijection".)
