Estoy leyendo Kunen los Fundamentos de las Matemáticas y tratando de resolver el Ejercicio II.16.19, que construye una escuela primaria de la extensión de los reales como un ordenado del campo, y le pide al lector a demostrar varias propiedades. Estoy atascado en demostrar que no hay infinitamente más pequeño primos grandes.
Aquí está el programa de instalación (abreviado). $\mathcal{L}$ es el léxico $\{0, 1, +, \cdot, -, i, <, Z\}$. $i$ aquí indica que "inverso multiplicativo", y $Z$ es el predicado unario "es un número entero". Deje $\mathfrak{R}$ ser la estructura con el universo $\mathbb{R}$, donde los símbolos en $\mathcal{L}$ son interpretados de una manera obvia. A continuación, vamos a $\mathfrak{B} \succneqq \mathfrak{R}$ ser un adecuado primaria de la extensión de $\mathfrak{R}$, cuya existencia está garantizada por el alza de Löwenheim-Skolem-teorema de Tarski, y $B \supsetneqq \mathbb{R}$ de su universo. Tomamos nota en particular de que $\mathfrak{B}$ es una ordenó campo tan usuales de la aritmética notación tiene sentido. Decimos que un elemento $b \in B$ es infinitamente grande si $|b| > r$ por cada $r \in \mathbb{R}$.
Un elemento $p$ de una estructura de más de $\mathcal{L}$ es el primer fib tenemos $p \ge 2$, $Z(p)$, y al no existir $x,y$ tal que $Z(x)$, $Z(y)$, $1<x<p$, y $p=x\cdot y$. (He ajustado Kunen la definición ligeramente para descartar negativos de los números primos, que no están considerados en este problema). Por supuesto, en $\mathfrak{R}$, esto es la noción habitual de un número primo.
Me han demostrado que infinitamente grande de los números primos existen en $\mathfrak{B}$, y que el conjunto de infinitamente grande de los números primos en $B$ es ilimitado arriba. Ahora deseo:
Demostrar que no existe más pequeño infinitamente grande prime en $\mathfrak{B}$. Esto es, para cualquier infinitamente grande prime $p$, hay un infinitamente grande prime $q$$q < p$.
Estoy un poco atascado. La principal herramienta disponible para nosotros que $\mathfrak{B}$ es una primaria de la extensión de $\mathfrak{R}$, lo que significa que si $\varphi$ es de primer orden de la fórmula de $\mathcal{L}$, $\mathfrak{R} \vDash \varphi(r)$ por cada $r \in \mathbb{R}$ fib $\mathfrak{B} \vDash \varphi(r)$ por cada $r \in \mathbb{R}$ (y también para las fórmulas de $\varphi(r_1, \dots, r_n)$ con varias variables libres). En particular, cada frase de $\mathcal{L}$ (sin variables libres) que mantiene en $\mathfrak{R}$ también tiene en $\mathfrak{B}$.
Yo pensé en intentar producir el primer $q$ utilizando el hecho de que, en $\mathcal{R}$, para cada entero $n$ no es una de las principales entre el$n$$n!$. Pero no sé cómo expresar la función factorial de primer orden. (Pensé en el uso de algunos de los más grandes de su función, como $n^n$, pero eso no parece la mejor.)
Una loca idea que yo tenía es utilizar alguna versión débil de la conjetura de Goldbach. Por ejemplo, Vinogradov del teorema demuestra que, en $\mathfrak{R}$, cada suficientemente grande número impar es la suma de tres números primos, y al parecer Borozdin mostró que $3^{3^{15}}$ es lo suficientemente grande. En particular, cada primer mayor que $3^{3^{15}}$ es la suma de tres números primos. Esto se expresa fácilmente como una de primer orden de la frase de $\mathcal{L}$, por lo que también debe ser cierto en $\mathfrak{B}$. Así, cada infinitamente grande prime $p$ $\mathfrak{B}$ es una suma de tres números primos, todos de los cuales están a menos de $p$, y al menos uno de los tres debe ser infinitamente grande. Pero esta no puede ser la solución "correcta"!
Todas las sugerencias serán bienvenidas.
