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Una presentación de un grupo de la orden de 12

Mostrar que la presentación de $G=\langle a,b,c\mid a^2 = b^2 = c^3 = 1, ab = ba, cac^{-1} = b, cbc^{-1} =ab\rangle$ define un grupo de orden $12$.

Traté de que $d=ab\Rightarrow G=\langle d,c\mid d^2 =c^3 = 1, c^2d=dcdc\rangle$. Pero no sé cómo encontrar el orden de la nueva presentación. Me refiero a que no estoy seguro de cómo los elementos de la nueva $G$ aspecto. (Para asegurarse de que no en la forma $c^id^j$ $d^kc^l$ lo contrario $|G|\leq 5$).

Es bueno paso para reducir el número de generadores o no es necesario?

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Jeff Puntos 804

Prueba directa.

$N:=\langle a,b \rangle$ es claramente un subgrupo normal de $G$$G/N = \langle c : c^3 = 1 \rangle = C_3$, e $N$ es el cociente de la Klein cuatro grupos $V_4 = \langle a,b : a^2=b^2=1, ab=ba \rangle$. Por lo tanto, $|G|$ divide $12$. Ahora se verifica que las permutaciones $a=(12)(34)$, $b = (14)(23)$, $c = (123) \in A_4$ satisfacer las relaciones que definen $G$, y que la generación de $A_4$. Por lo tanto tenemos una surjective homomorphism $G \to A_4$. Desde $|G|$ divide $12$, esto muestra que $G \cong A_4$ es un isomorfismo y $|G|=12$.

Una más conceptual de la prueba utilizando semidirect productos.

El automorphism grupo de Klein de cuatro grupos $V_4$ $S_3$ (ya que se puede permutar $a,b,ab$ libremente, también se puede ver esto de álgebra lineal aplicada a $V_4 \cong \mathbb{F}_2^2$). En particular, hay un automorphism $c$ orden $3$, es decir, la asignación de $a \mapsto b, b \mapsto ab, ab \mapsto a$. Esto significa que el grupo cíclico $C_3 = \langle c : c^3 = 1 \rangle$ orden $3$ actúa en este grupo. La correspondiente semidirect producto $V_4 \rtimes C_3$ ha deseado presentación de $\langle a,b,c : a^2=b^2=c^3=1, ab=ba, c a c^{-1} = b, c b c^{-1} = ab \rangle$. Ver MO/96078 universal de los bienes y el grupo resultante de la presentación de un semidirect producto. Pero la costumbre de la construcción de la semidirect producto $N \rtimes H$ muestra que $|N \rtimes H|= |N| |H|$. En particular, $G \cong V_4 \rtimes C_3$ orden $12$.

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Johannes Puntos 141

A pesar de que mi enfoque no es de la manera que se espera, es una buena manera para su grupo. De esta manera se llama Coset enumeración o Todd-Coxeter Algoritmo. Usted tiene ver $12$ filas completado de la siguiente manera. De hecho, me encontré $[G:\langle e\rangle]=12$:

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runeh Puntos 1304

Si usted nota en el original de la presentación, en la que los exponentes de la $a,b,c$ $2,2,3$ cuyo producto es $12$ natural estrategia sería la de tratar de poner un elemento general en la forma $a^pb^qc^r$ y, a continuación, muestran que estos elementos son distintos.

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Jaded Puntos 593

Se puede construir un grafo dirigido se llama el diagrama de Cayley del grupo $G := \langle a,b,c | a^2=b^2=c^3=1, ab=ba, ca=bc, cb=abc \rangle$ con respecto a los generadores $a,b,c$. Los vértices de este dígrafo será el grupo de elementos. El conjunto de arcos será de la forma $\{(g,gs): g \in G, s \in \{a,b,c\} \}$. Después de este dígrafo está construido completamente, cada vértice $g \in G$ 3 salientes arcos etiquetados con los colores de la $a,b,c$, y 3 entrantes arcos con los colores de la $a,b,c$, y el número de vértices estarán a la orden del grupo.

La construcción de este dígrafo, comience con la identidad vértice 1. Dibuja un arco de 1 a $a$, y etiqueta el arc $a$. Este es un borde de color arco, denotado $(1,a,a)$, donde la tercera coordenada se refiere al color de la arc $(1,a)$. Añadir un nuevo arco desde el vértice $a$ hasta el vértice $a^2$ color $a$, y el aviso de que la relación se $a^2=1$ nos obliga a identificar el vértice $a^2$$1$. Así que realmente han dirigido ciclo de longitud 2 en este punto. Otro dirigido ciclo de longitud 2 se presenta debido a arcos de la $(1,b,b)$$(b,1,b)$. Lo siguiente que queremos dibujar una dirigida ciclo de longitud 3 en los vértices $1,c,c^2$.

Próximo inicio en el vértice $a$ y dibuje su 3 salientes arcos, uno de los cuales se $(a,b,ab)$. Dibuje tres arcos salientes de $b$, uno de los cuales será $(b,a,ba)$. Desde $ab=ba$, se identifica (es decir, combinación de) estos dos vértices $ab$$ba$. Además, se inicio en los vértices existentes (por ejemplo el vértice 1), y hacer cumplir cada relación, en cada vértice. Por lo tanto, a partir de la 1, la trayectoria $ab$ de longitud 2 y la trayectoria $ba$ de longitud 2 debe terminar en el mismo vértice. Del mismo modo, $ca$ $bc$ termina en el mismo vértice, como do$cb$$abc$.

Continúe este proceso hasta que cada vértice tiene tres salientes y tres entrantes arcos, y hasta que cada relación es aplicada en cada vértice. Podemos identificar los vértices siempre una relación nos obliga a hacerlo. El número de vértices, a continuación, terminar siendo el orden del grupo. He construido este dígrafo en su ejemplo, y confirmó que tiene un orden de 12.

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