Estoy usando la desigualdad de Jensen y esperanza condicional para demostrar la siguiente desigualdad:
Deje $\lambda_i$ ser real para $i\in \{1,2,...,M\}$$\bar{\lambda}=\frac{\sum_{i=1}^M\lambda_i}{M}$. Vamos $X_i$, $i\in \{1,2,...,M\}$ ser un conjunto de verdadero yo.yo.d variables aleatorias, entonces tenemos \begin{align} \mathbb{E}\left(f\left(\sum_{i=1}^M \bar{\lambda} X_i\right)\right) \le \mathbb{E}\left(f\left(\sum_{i=1}^M \lambda_i X_i\right)\right), \end{align} donde $f(\cdot)$ es una función convexa. El signo igual tiene al $\lambda_{i}=\bar{\lambda}$ todos los $i\in \{1,2,...,M\}$.
Y mi prueba es dada como:
Vamos \begin{align} X=\sum_{i=1}^M\bar{\lambda}X_i, \end{align} \begin{align} W=\sum_{i=1}^M\lambda_iX_i, \end{align} y \begin{align} Z=X-W. \end{align} Por la propiedad simétrica de $X$, el condicional de las variables aleatorias $X_i|X$, $i\in \{1,...,M\}$, son idénticamente distribuidas, lo que implica \begin{align} \mathbb{E}(X_1|X)=\mathbb{E}(X_2|X)= \cdots = \mathbb{E}(X_M|X). \end{align} Por lo tanto \begin{align} \mathbb{E}(Z|X)&=\sum_{i=1}^M \bar{\lambda}\mathbb{E}(X_i|X)-\sum_{i=1}^M \lambda_{i}\mathbb{E}(X_i|X)\\ &=\mathbb{E}(X_1|X)\left(\sum_{i=1}^M \bar{\lambda}-\sum_{i=1}^M \lambda_{i}\right)=0. \end{align} Desde $f(\cdot)$ es convexa, por la desigualdad de Jensen tenemos \begin{align} \mathbb{E}(f(X-Z)|X) &\ge f(\mathbb{E}((X-Z)|X)) \\ &=f(X-0)=f(X) \end{align} Por lo tanto \begin{align} \mathbb{E}(f(W))=\mathbb{E}(\mathbb{E}(f(X-Z)|X))\ge \mathbb{E}(f(X)). \end{align}
Creo que la prueba es correcta, pero no es 100% seguro, alguien puede darme una sentencia de esta prueba?
Gracias!
