He encontrado varias pruebas para La fórmula de Heron para el área de un triángulo en términos de sus lados, pero ninguno de ellos es lo suficientemente sencillo e intuitivo como para mostrar POR QUÉ la fórmula funciona.
¿Conoces una prueba intuitiva o visual para ello?
Gracias.
Paso 1:
Prueba $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$
Paso 2:
Utilice $A = rs$ y tendrás la fórmula de Heron.
Es útil saber que las longitudes tangentes del ángulo A son de longitud (s-a).
Utiliza la Ley de los Cosenos para determinar la longitud del tercer lado del triángulo isósceles cuyos lados iguales son de longitud (s-a) y cuyo ángulo es A.
Utiliza la Ley de los Cosenos para determinar la longitud del tercer lado del triángulo isósceles cuyos lados iguales son de longitud $r$ y cuyo ángulo es $(180^\circ - A)$ .
Hacer esto lleva a:
$r^2 = (s - a)^2 \frac{(1 - cos(A))}{(1 + cos(A)}$ que se resuelve en $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$
La intuición:
Si se puede demostrar que el volumen de un prisma triangular de altura $r$ es igual al volumen de un sólido rectangular de lados $(s - a)$ , $(s - b)$ y $(s - c)$ entonces esto llevará a la fórmula de Heron de la manera más eficiente que he visto. Por supuesto, primero hay que demostrar la fórmula de r como se ha detallado anteriormente.
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