¿Hasta qué punto puedo pensar en una fibra lagrangiana en una variedad simpléctica como T*N?

Question

Esta es probablemente una pregunta muy elemental en geometría simpléctica, un tema que he aprendido por ósmosis en lugar de realmente aprenderlo.

Supongamos que tengo una variedad simpléctica $M$. Creo que una fibración Lagrangiana de $M$ es una colección de subvariedades Lagrangianas inmersas de modo que como una variedad fibrada localmente $M$ se parece a un producto. Es decir, puedo encontrar coordenadas locales para que las fibras sean $\{\text{la mitad de las coordenadas} = \text{constante}\}$.

Luego, al menos localmente, puedo pensar en el conjunto de fibras como algún tipo de "espacio" $N$. Mi pregunta es: ¿hasta qué punto puedo pensar en $M$ como el fibrado cotangente $T^*N$?

Seguramente la respuesta es "en absoluto" a nivel global: el conjunto de fibras probablemente no es un espacio de ninguna manera buena, y ciertamente no una variedad (ver: línea irracional en un toro). Pero ¿qué pasa a nivel local? Entonces realmente son dos preguntas:

Pregunta 1: Si tengo una fibración Lagrangiana en $M$, ¿puedo encontrar coordenadas locales $p_i, q^j: M \to \mathbb R$ de modo que la forma simpléctica sea $\omega = \sum_i dp_i \wedge dq^i$ y las fibras sean de la forma $\{ \vec q = \text{constante}\}$.

Pensé que la respuesta era obviamente "sí", y tal vez lo sea, pero lo que pensé que funcionaba no puedo hacer que funcione del todo.

Luego la pregunta es sobre qué tan canónica es esto, y eso realmente no se trata de las fibraciones Lagrangianas en general:

Pregunta 2: ¿Cuál es una buena descripción de las simplomorfismos locales $\mathbb R^{2n} \to \mathbb R^{2n}$ de la forma $\tilde q = \tilde q(q)$ y $\tilde p = \tilde p(p,q)$?

El comienzo de la respuesta es que es un simplomorfismo local si $\sum_i d\tilde p_i \wedge d\tilde q^i = \sum_i dp_i \wedge dq^j$, pero el lado izquierdo es $\sum_{i,j,k} \bigl(\frac{\partial \tilde p_i}{\partial q^j}dq^j + \frac{\partial \tilde p_i}{\partial p_j}dp_j \bigr) \wedge \bigl( \frac{\partial \tilde q^i}{\partial q^k}dq^k \bigr)$, entonces las dos condiciones son que $\sum_i \frac{\partial \tilde p_i}{\partial q^j} \frac{\partial \tilde q^i}{\partial q^k}dq^k$ es una matriz simétrica, y que $\frac{\partial \tilde p}{\partial p}$ es la matriz inversa (tal vez transpuesta, dependiendo de su convención) de $\frac{\partial \tilde q}{\partial q}$.

De todos modos, supongo que para completitud también haré la pregunta global:

Pregunta 0: ¿Qué condiciones globales en $M$ y la fibración aseguran que hay un simplomorfismo global con $T^*N$ para algún $N$?

Answer 1

Parece que la Pregunta 2 es un caso especial de: ¿Cuáles son los difeomorfismos que preservan las fibras de $T^*M$? Esto tiene una respuesta interesante.

Primero, cualquier difeomorfismo $f$ de $M$ define un difeomorfismo que preserva las fibras de $T^*M$, su extensión cotangente, mediante $(q,\xi) \mapsto (f(q),((df_q)^*)^{-1}\xi)$. Estos son exactamente los difeomorfismos que preservan las fibras de $T^*M$ que también preservan la 1-forma canónica. Segundo, cualquier 1-forma cerrada $\beta$ en $M$ define un difeomorfismo que preserva las fibras de $T^*M$ mediante $(q,\xi) \mapsto (q,\xi+\beta_q)$. Estos son exactamente los que preservan las fibras de la proyección $T^*M \to M.

Entonces no es difícil demostrar que cualquier difeomorfismo que preserva las fibras de $T^*M$ es una composición de una extensión cotangente con una traslación de la fibra por una 1-forma cerrada.

Answer 2

La Pregunta 1 se llama teorema de Darboux para fibrados (ver: Arnold, V., Givental, A., Geometría simpléctica, Sistemas dinámicos IV, Geometría simpléctica y sus aplicaciones (Arnold, V., Novikov, S., eds.), Enciclopedia de Ciencias Matemáticas 4, Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1990.)

Así es como se construyen coordenadas de Darboux adecuadas. Sea $q_i$ coordenadas locales en la base del fibrado, las identificamos con sus retrocesos al espacio simpléctico. Las funciones $q_i$ generan campos vectoriales hamiltonianos $X_{i}$ y estos campos son tangentes a las fibras (note que los $X_{i}$ conmutan). Sea $\varphi_{i}(t)$ el mapa de flujo generado por $X_{i}$ durante el tiempo $[0,t]$.

Ahora elegimos (localmente) una subvariedad lagrangiana $L$ transversal al fibrado. Las coordenadas $q_i$ dan coordenadas en $L$, por lo que $(q_1,...,q_n)$ representa un punto en $L$. Aquí hay una construcción de un local simpletomorfismo $$(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n) \mapsto \varphi_{n}(p_n)\circ ...\circ \varphi_{1}(p_1)(q_1,...,q_n).$$ Es fácil verificar que es realmente un simpletomorfismo fibrado que envía la estructura simpléctica a la estándar.

Answer 3

Los Modelos de Ecuaciones Simultáneas (vamos a llamarlos MES para separar los dos tipos de modelos), son modelos donde tienes cierta simultaneidad. Por ejemplo,

$$ y=\alpha+\beta x + u_y\\ x=\gamma+\delta y + u_x $$

Como puedes ver, las dos ecuaciones forman un sistema de ecuaciones. Estos son ampliamente utilizados en econometría y economía aplicada, pero no se garantiza que tengan una interpretación razonable (económica).

Además, para complicar las cosas aún más, los MES pueden escribirse tanto en forma estructural como en forma reducida. Así que puedes hablar de un modelo de ecuaciones simultáneas en una forma estructural, ¡sin referirse a lo que tradicionalmente se conoce como modelado de ecuaciones estructurales (SEM)! Si buscas una referencia, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data de Wooldridge es bastante bueno.

En el universo de SEM intentas estimar relaciones causales y cosas que no puedes observar. Por ejemplo, el coeficiente intelectual es imposible de observar, pero puedes explotar las relaciones entre variables relacionadas (observables) para estudiarlo. El análisis de factores es un método SEM común.

Para aplicaciones de SEM en series temporales, puedes echar un vistazo al análisis de factores dinámicos.

Answer 4

Hey Theo --- No creo que sea razonable esperar que las fibraciones Lagrangianas sean haces cotangentes globalmente. Un ejemplo sencillo: toma un toro de dimensión 2, dale una forma simpléctica (equivalentemente una forma de volumen en este caso); cada subvariedad de dimensión 1 es automáticamente Lagrangiana; el toro es un haz circular sobre un círculo; al realizarlo de esta manera, es una fibración sobre el círculo con las fibras siendo círculos Lagrangianos. Ciertamente esto no es un haz cotangente.

Otro ejemplo, los sistemas integrables dan lugar a fibraciones Lagrangianas sobre R^n: habitualmente estos no son haces cotangentes. Mira la sección sobre sistemas integrables en el libro de Cannas da Silva.

Answer 5

Aquí hay otro ejemplo. Tome un haz cotangente T*M y añada a la estructura simpléctica canónica el pullback de M de una 2-forma cerrada pero no exacta. En el resultado del cuerpo simpléctico, las fibras cotangentes todavía forman una fibración lagrangiana, pero no hay una sección transversal lagrangiana local.