¿En qué medida puedo pienso una fibración de Lagrange en una variedad simpléctica como T * N?

Question

Esta es probablemente una muy elemental pregunta en geometría simpléctica, un tema que he recogido por ósmosis, más que nunca, aprender realmente.

Supongamos que tengo un simpléctica colector $M$. Creo que una de Lagrange fibration de $M$ es una colección de inmerso Lagrange submanifolds de manera que, como fibrado colector localmente $M$ se ve como un producto. I. e. Me pueden encontrar locales de coordenadas para que las fibras se $\{\text{half the coordinates} = \text{constant}\}$.

Entonces, al menos localmente, puedo pensar en el conjunto de fibras como una especie de "espacio" $N$. Mi pregunta es: ¿en qué medida puedo pensar de $M$ como la cotangente del paquete de $T^*N$?

Seguramente, la respuesta es "ninguna medida en absoluto" a nivel mundial: el conjunto de fibras probablemente no sea un espacio en cualquier buena manera, y ciertamente no es un colector (ver: línea irracional en un toro). Pero ¿qué pasa a nivel local? Entonces es realmente dos preguntas:

Pregunta 1: Si tengo un lagrangiano fibration en $M$, puedo encontrar las coordenadas locales $p_i,q^j: M \to \mathbb R$, de modo que la forma simpléctica es $\omega = \sum_i dp_i \wedge dq^i$ y las fibras son de la forma $\{ \vec q = \text{constant}\}$.

Pensé que la respuesta era, obviamente, "sí", y tal vez lo es, pero de lo que yo pensaba trabajado no puedo hacer que ir a través de todo el camino.

Entonces la pregunta es acerca de cómo canónico, esto es, y que en realidad no se trata en general de Lagrange fibrations a todos:

Pregunta 2: ¿Qué es una buena descripción de los locales symplectomorphisms $\mathbb R^{2n} \to \mathbb R^{2n}$ de la forma$\tilde q = \tilde q(q)$$\tilde p = \tilde p(p,q)$?

El comienzo de la respuesta es que es un local symplectomorphism si $\sum_i d\tilde p_i \wedge d\tilde q^i = \sum_i dp_i \wedge dq^j$, pero el lado izquierdo es $\sum_{i,j,k} \bigl(\frac{\partial \tilde p_i}{\partial q^j}dq^j + \frac{\partial \tilde p_i}{\partial p_j}dp_j \bigr) \wedge \bigl( \frac{\partial \tilde q^i}{\partial q^k}dq^k \bigr)$, así que las dos condiciones son que $\sum_i \frac{\partial \tilde p_i}{\partial q^j} \frac{\partial \tilde q^i}{\partial q^k}dq^k$ es una matriz simétrica, y que $\frac{\partial \tilde p}{\partial p}$ el (tal vez transponer, dependiendo de la convención) la inversa de la matriz a $\frac{\partial \tilde q}{\partial q}$.

De todos modos, supongo que por la integridad también voy a pedir el global de la pregunta:

Pregunta 0: ¿Qué condiciones globales en $M$ y el fibration asegurar que hay un mundial symplectomorphism con $T^*N$ algunos $N$?

Answer 1

Parece que la Pregunta 2 es un caso especial de: ¿cuáles son la fibra de la preservación de symplectomorphisms de $T^*M$? Este tiene una buena respuesta.

En primer lugar, cualquier diffeomorphism $f$ $M$ define una fibra preservar symplectomorphism de $T^*M$, su cotangente ascensor, por $(q,\xi) \mapsto (f(q),((df_q)^*)^{-1}\xi)$. Estos son exactamente los de la fibra de la preservación de symplectomorphisms de $T^*M$ que preservar la canónica 1-forma. En segundo lugar, todo cerrado 1 formulario a- $\beta$ $M$ define una fibra preservar symplectomorphism de $T^*M$$(q,\xi) \mapsto (q,\xi+\beta_q)$. Estos son exactamente los que preservar las fibras de la proyección de $T^*M \to M$.

Entonces no es difícil mostrar que cualquier fibra preservar symplectomorphism de $T^*M$ es una composición de la cotangente de un ascensor con fibra de traducción por un cerrado de 1-forma.

Answer 2

Su Pregunta 1 se denomina teorema de Darboux para fibrations (ver: Arnold, V., Givental, A., geometría Simpléctica, Sistemas Dinámicos IV, de la Geometría Simpléctica y de sus Aplicaciones (Arnold, V., Novikov, S., eds.), Enciclopedia de las Matemáticas. Ciencias 4, Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1990.)

Aquí es cómo construir adecuado coordenadas de Darboux. Deje $q_i$ coordenadas locales en la base de la fibration, se identifican con sus pullbacks a la simpléctica colector. Las funciones de $q_i$ generar campos vectoriales Hamiltonianos $X_{i}$ y estos campos son tangentes a las fibras (tenga en cuenta que $X_{i}$'s conmutan). Deje $\varphi_{i}(t)$ ser el mapa de flujo generado por $X_{i}$ tiempo $[0,t]$.

Ahora elegimos (a nivel local) una de Lagrange submanifold $L$ transversal a la fibration. Las coordenadas $q_i$ dar coordenadas en $L$, lo $(q_1,...,q_n)$ representa por un punto en $L$. Aquí es una construcción de un local symplectomorphism $$(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n) \mapsto \varphi_{n}(p_n)\circ ...\circ \varphi_{1}(p_1)(q_1,...,q_n).$$ es fácil comprobar que es de hecho un fibrado symplectomorfism el envío de la estructura simpléctica a la estándar.

Answer 3

Querido Theo Johnson-Freyd, espero tener al menos parcialmente entendido el contenido de su pregunta, y que mi respuesta podría ser útil.

0.La configuración y la especificación de la terminología.
En un simpléctica $2n$-dimensiones del colector $(M,\omega)$, deja de ser dado un lagrangiano de la foliación $\mathcal{F}$, es decir, una foliación de $M$ cuyas hojas son de lagrange w.r.t. $\omega$. (Lugar, me refiero a una de lagrange fibration de $(M,\omega)$ como surjective summersion $f:M\to B$ cuyas fibras son de lagrange w.r.t. $\omega$. Cualquier fibration determina una foliación pero el recíproco no es cierto. La diferencia va a ser inmaterial, en mi punto(1), pero no así en mi punto(2).)

1.Existencia de lagrange submanifolds transversal a $\mathcal{F}$. Para cualquier $p\in M$, existe un lagrangiano submanifold de $(M,\omega)$ que pasa a través de $p$ y es transversal a $\mathcal{F}$.

De hecho, para cualquier $p\in M$, existe una tabla de $(U,\phi)$ $M$ centrada en $p$, tal que:
$\omega= \sum_{i=1}^{n}{d\phi_i \wedge d\phi_{n+i}}$,
la restricción de $\mathcal{F}$ $U$ es generado por $\frac{\partial}{\partial\phi_{n+1}},\ldots,\frac{\partial}{\partial\phi_{2n}}$,
y, en consecuencia, $\phi_{n+1}=\ldots=\phi_{2n}=0$ es un local de lagrange submanifold de $(M,\omega)$ pasando a través de $p$ y transverval a $\mathcal{F}$.

Esto es sólo el Caratheodory-Jacobi-Mentira teorema, aplicado comenzando con un sistema de $d\phi_1,\ldots,d\phi_n$ $1$- formularios en los que se genera localmente la distribución que corresponde a la de lagrange foliación $\mathcal{F}$.

2. Un pariente de la globalización.
Si $L$, una de lagrange submanifold de $(M,\omega)$, es transversal a $\mathcal{F}$, entonces existe un diffeomorphism $f$ a partir de un abierto barrio de $L$ $M$ a un conjunto abierto en $T^*L$ tal forma que:
$f|_L$ es el cero de la sección de $\tau_L^{\ast}:T^{\ast}L\to L$,
$f_{\ast}\omega$ es el simpléctica canónica en $T^{\ast}L$,
y $f$ toma las hojas de $\mathcal{F}$ en las fibras de $\tau^{\ast}_L$.

Esto es sólo Teorema 7.1 en "Simpléctica Colectores y sus Lagrange submanifolds" de A. Weinstein.

Answer 4

Hola Theo --- no creo que sea razonable esperar que los de Lagrange fibrations a ser la cotangente paquetes a nivel mundial. Un ejemplo muy sencillo: toma un toro 2d, darle una forma simpléctica (equivalentemente, una forma de volumen en este caso); cada 1d submanifold automáticamente de Lagrange; el toro es un círculo paquete de más de un círculo; realización de esta manera, es un fibration sobre el círculo con fibras de ser de Lagrange círculos. Sin duda esta no es la cotangente de un paquete.

Otro ejemplo, integrar los sistemas de rendimiento de Lagrange fibrations más de R^n: estos por lo general no cotangente paquetes. Consulte la sección sobre la integración de los sistemas en Cannas da Silva del libro.

Answer 5

Este es otro ejemplo. Un paquete de la cotangente T * M y añadir a la estructura simpléctica canónica la retirada del M de una 2-forma cerrada pero nonexact. En la resultante simpléctica múltiple, las fibras de la cotangente todavía forman una fibración de Lagrange, pero no local Lagrange transversal.