Un seguimiento razonable pregunta es si hay algún natural de las propiedades algebraicas que la clase de los cardenales satisface (que probablemente se encuentre en $\mathsf{ZF}$ o en $\mathsf{ZF}$ junto con un débil del axioma de elección). Este es un problema naturales y fue investigado por Tarski en la década de 1940, ver
MR0029954 (10,686 f). Tarski, Alfred. El Cardenal Álgebras. Con un Apéndice: el Cardenal Productos de Isomorfismo Tipos, por Bjarni Jónsson y Alfred Tarski. Oxford University Press, Nueva York, N. Y., 1949. xii+326 pp.
Tarski aislado como un conjunto de propiedades bajo la noción de un cardenal de álgebra. Un cardenal álgebra consiste en una abelian semigroup $(A,+)$ con identidad junto con una infinitary además de la operación $\sum\!:A^{\mathbb N}\to A$, sujeto a algunos axiomas. La teoría encontrado un inesperado reciente aplicación en el descriptivo de la teoría de conjuntos, en el estudio de Borel las relaciones de equivalencia y sus asociados Borel cardinalidades, ver
MR3549382. Kechris, Alexander S.; Macdonald, Henry L. Borel las relaciones de equivalencia y el cardenal álgebras. Fondo. De matemáticas. 235 (2016), no. 2, 183-198.
En el documento de Kechris y Macdonald, los axiomas son descritos de una forma un tanto diferente (pero equivalente) de manera que en Tarski del libro, a saber:
- $\sum_{n=0}^\infty \mathfrak{m}_n=\mathfrak m_0+\sum_{n=0}^\infty \mathfrak m_{n+1}$.
- $\sum_n (\mathfrak m_n+\mathfrak n_n)=\sum_n \mathfrak m_n+\sum_n\mathfrak n_n$.
- Si $\mathfrak m+\mathfrak n=\sum_n\mathfrak o_n$, luego están las secuencias de $(\mathfrak m_n)_{n=0}^\infty$ $(\mathfrak n_n)_{n=0}^\infty$ tal que $\mathfrak m=\sum_n \mathfrak m_n$, $\mathfrak n=\sum_n \mathfrak n_n$, y $\mathfrak m_n+\mathfrak n_n=\mathfrak o_n$ todos los $n$.
- Si dos secuencias de $(\mathfrak m_n)$ $(\mathfrak n_n)$ satisfacer $\mathfrak m_n=\mathfrak n_n+\mathfrak m_{n+1}$ todos los $n$, entonces no es un $\mathfrak o$ tal que, para todos los $n$, $\mathfrak m_n=\mathfrak o+\sum_k \mathfrak n_{n+k}$.
Tarski demuestra en su libro que muchas de las propiedades de los números cardinales comprobable en $\mathsf{ZF}$ $\mathsf{ZF}+\mathsf{AC}_\omega$ seguir a partir de sus postulados (y algunas propiedades adicionales más tarde fueron verificados por Racimo). También proporciona varios ejemplos de cardenal álgebras.
Lo Kechris y Macdonald hacer es darse cuenta de que no son naturales de las operaciones de $+$ $\sum$ en la clase de Borel las relaciones de equivalencia en el estándar de Borel espacios que ciertas subclases son cardenal álgebra de operadores (por ejemplo, la clase de contables de Borel las relaciones de equivalencia, la clase de treeable contables Borel las relaciones de equivalencia, y otros) . Este resultados en las pruebas de nuevos hechos de Borel las relaciones de equivalencia, que había sido abierta por años. Por ejemplo, si $E$ $F$ son contables Borel las relaciones de equivalencia y $nE\sim_B nF$,$E\sim_B F$. Aquí, $\sim_B$ es la relación de Borel bireducibility. Para otro ejemplo, la secuencia de las $F_0\le_B F_1\le_B \dots$ de los contables de Borel las relaciones de equivalencia, admite al menos un límite superior en virtud de Borel reducibilidad $\le_B$.
