Alguien podría trabajar fuera de la oferta de referencia para el cálculo de homotopy grupos de complejo espacio proyectivo $\mathbb{C}P^n$ en términos de la homotopy grupos de esferas?
Respuesta
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No es el llamado de Hopf fibration: $$U(1) = S^1 \hookrightarrow S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbb{CP}^n.$$ A ver, a ver $S^{2n+1}$ como incrustado como la unidad de la esfera de $\mathbb{R}^{2n+2} \cong \mathbb{C}^{n+1}$, y el proyecto " $z \in S^{2n+1}$ $\mathbb{C}$- lineal subespacio $[z] \in \mathbb{CP}^n$ se genera en $\mathbb{C}^{n+1}$ (recordemos que $\mathbb{CP}^n = (\mathbb{C}^{n+1} \setminus 0) /(z \sim \lambda z')_{\lambda \neq 0}$).
La fibra de más de $[z] \in \mathbb{CP}^n$$\{ z' \in S^{2n+1} \mid \exists \lambda \in \mathbb{C}^* \text{ s.t. } z' = \lambda z \}$; pero desde $|z| = |z'| = 1$, $|\lambda| = 1$ $\lambda$ está en el círculo unidad de $\mathbb{C}$. Es un clásico ejercicio para ver que esto define un haz de fibras de más de $\mathbb{CP}^n$.
El largo de la secuencia exacta de un fibration en homotopy es entonces: $$ \ldots \to \pi_k(S^1) \to \pi_k(S^{2n+1}) \to \pi_k(\mathbb{CP}^n) \to \pi_{k-1}(S^1) \to \ldots$$ Desde $\pi_k(S^1) = 0$$k > 1$, se deduce que $$\color{red}{\pi_k(\mathbb{CP}^n) = \pi_k(S^{2n+1}) \quad \text{for } k > 2.}$$ En bajos grados, el largo de la secuencia exacta se convierte en: $$0 \to \pi_2(S^{2n+1}) \to \pi_2(\mathbb{CP}^n) \to \underbrace{\pi_1(S^1)}_{\mathbb{Z}} \to \pi_1(S^{2n+1}) \to \pi_1(\mathbb{CP}^n) \to 0.$$ Para $n \ge 1$, $\pi_1(S^{2n+1}) = \pi_2(S^{2n+1}) = 0$, y así, finalmente: $$\color{red}{\pi_1(\mathbb{CP}^n) = 0, \quad \pi_2(\mathbb{CP}^n) = \mathbb{Z}.}$$
