Suma de raíces en cubos

Question

Necesito calcular las sumas

ps

y

ps

donde$$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3$ son las raíces de

ps

usando las fórmulas de Viete.

Sé que$$x_1^4 + x_2^4 + x_3^4$, como ya lo calculé, pero parece que no puedo obtener el cubo de las raíces. He intentado

ps

pero eso funcionó.

Answer 1

Si $x_1,x_2,x_3$ son las raíces de $x^3+2x^2+3x+4=0$ $$x^3+2x^2+3x+4 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $$ $$= x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)x - x_1 x_2 x_3 = x^3 - e_1 x^2 + e_2 x - e_3.$$ So $e_1 = -2$, $e_2 = 3$ and $e_3 = -4$.

Ahora, el truco es para expresar el poder de las sumas $x_1^3 + x_2^3 = x_3^3$ $x_1^4 + x_2^4 = x_3^4$ en términos de la primaria simétrica polinomios $\{x_1 + x_2 + x_3,x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3,x_1 x_2 x_3\}$.

Véase mi respuesta a la pregunta aquí para obtener más información sobre cómo hacer que las Tres variables del sistema de ecuaciones simultáneas

En el caso de la cuarta potencia sumas de dinero que usted debe conseguir $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = e_1^4 - 4 e_1^2 e_2 + 4 e_1 e_3 + 2 e_2^2 = 18$.

Answer 2

Creo que lo que necesitas son las identidades de Newton , en particular la sección sobre su aplicación a las raíces de un polinomio .