Si dos acciones grupales en un conjunto son ambas transitivas, ¿deben ser iguales?

Question

Supongamos que tenemos un grupo$G$ y un conjunto$S$ y dos acciones de grupo diferentes $$ \ phi: G \ to \ mathrm {Sym} (S) \ qquad \ psi: G \ to \ mathrm { Sym} (S) $$ para que tanto$\phi$ como$\psi$ sean transitivos. ¿Podemos concluir de esto que$\phi = \psi$? Si no, ¿qué es un contraejemplo? Si no, ¿hay situaciones en las que esto se mantiene, por ejemplo, si$S$ es finito?

Answer 1

No podemos, por ejemplo, si$G=C_2\times C_2$ es generado por$x,y$ donde$C_2$ es el grupo cíclico de orden$2$ luego$G$ actúa transitivamente en el conjunto$\{1,2\}$ de varias formas: podemos tener$\phi:x\mapsto (1,2), y\mapsto (1,2)$ y$\psi:x\mapsto (1,2), y\mapsto\mathrm{id}$

Answer 2

$G$ actúa sobre sí mismo por la izquierda de la multiplicación, $g(x) = gx$, y por la derecha de la multiplicación, $g(x)=xg^{-1}$.

Estas acciones son tanto transitiva, pero no son los mismos, excepto en casos muy especiales-por ejemplo, mediante el establecimiento $x=1$ vemos que es una condición necesaria (que resulta ser suficiente) que cada elemento tiene un orden en la mayoría de las $2$.

Cada grupo abelian y un espacio vectorial sobre $\mathbb F_2$, y si su dimensión es $\ge 2$, Robert Chamberlain de la respuesta da otra serie de diferentes acciones del grupo.

Los únicos grupos en los que su propiedad puede ser cierto, por tanto, la trivial grupo y $C_2$ - y en ambos casos es realmente cierto, aunque no muy interesante.

(También es trivialmente cierto si $|S|\le 1$, que es mucho menos interesante-y vacuously true si no hay acciones transitivas, como si $|S|$ es distinto de cero y no dividir a $|G|$).

Answer 3

$\mathbb{Z}/3$ actúa sobre$\{1,2,3\}$ mediante las acciones definidas en sus generadores$1$,$f_1(1)=2,f_1(2)=3, f_1(3)=1$ y$g_1(1)=3, g_1(2)=1, g_1(3)=2$ y estas acciones son diferentes.