¿El operador de gradiente es sobreyectivo?

Question

Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ abierto y acotado con frontera de Lipschitz. ¿Es el operador gradiente $\nabla :H^{1} ( \Omega ) \rightarrow L^{2} ( \Omega )$ sobreyectivo? Aquí $H^{1} ( \Omega ) =W^{1,2} ( \Omega )$ es el espacio de Sobolev de funciones de valores reales en $L^{2}$ con derivada débil en $L^{2}$.

Para conjuntos no acotados en $\mathbb{R}$ la respuesta es claramente no, ya que cualquier función continua con soporte compacto está en $L^{2} ( \mathbb{R} )$ pero tiene primitiva no integrable.

Entonces, si intento refutar esto para conjuntos acotados, mi prueba simple habitual para estas cosas, el conjunto $( 0,1 ) \subset \mathbb{R}$ y la función $x^{\alpha}$, que está en $L^{p}$ si y solo si $\alpha >-n/p$, realmente no ayuda mucho como candidato. La integración siempre es posible y obtenemos una función en $H^{1} ( \Omega )$.

¿Ideas? ¿Alguna solución? ¿Qué pasa con las funciones de valores vectoriales?

Answer 1

Sea $\mathcal{D}(\Omega)^n$ el conjunto de campos vectoriales de $C^\infty$ con soporte compacto definidos en $\Omega$. Define $$\mathcal{V}=\{\varphi\in \mathcal{D}(\Omega)^n:\ \operatorname{div}\varphi=0 \}$$

Denota por $H$ el cierre de $\mathcal{V}$ en $L^2(\Omega)^n$. Se puede mostrar que $$H=\{u\in L^2(\Omega)^n:\ \operatorname{div} u=0,\ \gamma(u)=0\}$$

$$H^{\perp}=\{u\in L^2(\Omega)^n:\ \exists\ p\in H^1(\Omega),\ u=\nabla p\}$$

donde $\gamma$ está definida aquí y $H^{\perp}$ es el ortogonal de $H$ en $L^2(\Omega)^n$. Por lo tanto, $$L^2(\Omega)^n=H\oplus H^\perp$$

Para referencias, echa un vistazo a este libro de Boyer y Fabrie, en la sección 3.3.