Uso de dx en Integrales

Question

Todas las integrales con las que estoy familiarizado tienen la forma:

$\int f(x)\mathrm{d}x$.

Y entiendo estas como la suma de rectángulos muy pequeños infinitos con un área de: $f(x_i)\cdot\mathrm{d}x$.

¿Es válido tener integrales que no tengan un diferencial, como $\mathrm{d}x$, o que tengan el diferencial en otro lugar que no sea como factor? Permíteme dar un par de ejemplos sobre lo que estoy pensando:

$\int 1$

Si esta es una notación válida, esperaría que sumara infinitos unos juntos, por lo tanto, iría hacia infinito.

$\int e^{\mathrm{d}x}$

Nuevamente, esperaría que esto fuera hacia infinito ya que $e^0 = 1$, asumiendo que la notación es válida.

$\int (e^{\mathrm{d}x} - 1)$

Esto potencialmente podría imaginarse que tiene un valor finito.

¿Son válidas tales integrales? Si es así, ¿hay ejemplos interesantes / ilustrativos de tales integrales?

Answer 1

En primer lugar, el Análisis No Estándar convierte tonterías como $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ en una fracción significativa en lugar de solo un "símbolo" (sea lo que sea eso).

El primer y más simple ejemplo de cómo se utilizan diferenciales más allá del formato $\int f(x)\mathrm{d}x$ sería la integración multidimensional:

$$ \int_V \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \int \left(\int \left(\int \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}z $$

lo cual nos da el volumen del sólido $V$.

El siguiente ejemplo es el Teorema de Green del cálculo vectorial,

$$ \int A(x,y) \mathrm{d}x - B(x,y) \mathrm{d}y = \int (\partial_1 B - \partial_2 A) \mathrm{d}x \mathrm{d}y $$

También es posible olvidar la integración por completo y solo usar ecuaciones con diferenciales en ellas para resolver problemas de cálculo.

Así que puedes ver que el formato estándar ni siquiera se acerca a la imagen completa. Si quieres integrar términos como $\int (e^{\mathrm{d}x} - 1)$ ¡por favor hazlo! ¡absolutamente nada te impide descubrir desde cero cómo resolver este tipo de integral y hacer que la teoría sea rigurosa!

Answer 2

Si utilizas la serie exponencial, puedes escribir uno de los ejemplos $$\int_A e^{dx}$$ como $$\int_A\sum_k (dx)^k\big/k!$$ y verlo como una suma de integrales múltiples.