Uso de dx en Integrales

Question

Todas las integrales con las que estoy familiarizado tienen la forma:

$\int f(x)\mathrm{d}x$.

Y entiendo estas como la suma de rectángulos muy pequeños infinitos con un área de: $f(x_i)\cdot\mathrm{d}x$.

¿Es válido tener integrales que no tengan un diferencial, como $\mathrm{d}x$, o que tengan el diferencial en otro lugar que no sea como factor? Permíteme dar un par de ejemplos sobre lo que estoy pensando:

$\int 1$

Si esta es una notación válida, esperaría que sumara infinitos unos juntos, por lo tanto, iría hacia infinito.

$\int e^{\mathrm{d}x}$

Nuevamente, esperaría que esto fuera hacia infinito ya que $e^0 = 1$, asumiendo que la notación es válida.

$\int (e^{\mathrm{d}x} - 1)$

Esto potencialmente podría imaginarse que tiene un valor finito.

¿Son válidas tales integrales? Si es así, ¿hay ejemplos interesantes / ilustrativos de tales integrales?

Answer 1

Creo que tu pregunta aquí muestra que, aunque has estado usando estos símbolos, realmente no has recibido una motivación adecuada de dónde provienen.
Volvamos atrás y consideremos cómo surgió la idea de una integral. En una clase típica, verás muchas imágenes como esta:

Encontramos el área bajo la curva sumando el área de todos estos pequeños rectángulos. Si quisiéramos escribir una expresión para el área, se vería así:
$$ \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x $$
El Σ significa que estamos calculando una sumatoria. Estamos sumando las áreas de los rectángulos, que hemos numerado del 1 al n, para obtener el área completa bajo la curva. El área de cada rectángulo se obtiene multiplicando la altura por el ancho. La altura se obtiene de f(x_i) porque la base del rectángulo está en 0 y la parte superior del rectángulo es donde se encuentra la función f. El Δx representa el ancho de cada rectángulo.
Cuando encontramos la integral, estamos tomando el límite de esta suma a medida que el número de rectángulos tiende a infinito, y cada rectángulo individual se vuelve infinitesimalmente pequeño. Puedes pensar en el dx como el equivalente de Δx: representa el ancho infinitesimalmente pequeño de cada rectángulo que sumamos para obtener el área.

Una vez que te das cuenta de esto, podemos ver por qué las integrales solo tienen sentido cuando se escriben ∫f(x)dx. Porque estamos sumando las áreas de rectángulos que tienen altura f(x) y ancho dx. Si intentas interpretar las expresiones que escribiste de esta manera, verás que realmente no tienen sentido como integrales: no estás sumando rectángulos, por lo que no estás encontrando un área bajo una curva.

Puedes, por supuesto, definir tu propia notación en la que esas expresiones se comporten como esperas, pero toda la notación matemática se basa en lo que las personas encuentran útil y en lo que las personas pueden entender y estar de acuerdo fácilmente. Tu reutilización del signo integral y dx que las personas están acostumbradas a ver en un contexto particular probablemente resultará en que pocas personas adopten tu definición.

Answer 2

Cuando escribes $\int f(x) dx$, todo el $\int ... dx$ es un símbolo indivisible, al igual que el $d/dx$ es un símbolo indivisible cuando escribes $df/dx$.

Por supuesto, existen razones por las cuales la notación es como es, pero tratar de manipularla como sugieres en $\int e^{dx}$, por ejemplo, es simplemente sin sentido.

Answer 3

No, no es válido. El dx en la integral es una representación del hecho de que la integral se obtiene como un área, por lo que se multiplica el "promedio" del valor de la función en cada punto por un intervalo infinitesimal.

Como la manera en la que calculamos el área no cambia, la notación no cambia.

Existen diferentes notaciones que se utilizan cuando la integral es sobre una curva, o sobre más de una variable (lo que conduce, por ejemplo, a volúmenes).

La notación d(variable) también se usa como recordatorio de que la integral es contra una variable específica y no otra, por ejemplo, que int x/y dx difiere de int x/y dy.

Answer 4

En el contexto del cálculo, $dx$ simplemente significa 'integrar con respecto a $x$'. Algunos libros incluso omiten por completo $dx$ porque 'por supuesto que estamos integrando con respecto a $x$'. El $dx$ no adquiere un significado adecuado hasta que se introducen las formas diferenciales.

Answer 5

Sé que llego tarde a la fiesta, pero mientras veo respuestas perfectamente válidas a la pregunta, creo que sería interesante intentar evaluar la integral que llevó a la pregunta.

Debe tenerse en cuenta que la integral en cuestión es bastante no estándar, porque todas las integrales consideradas en matemáticas tienen la forma de un producto con un infinitesimal como uno de sus factores. Puede haber diferentes órdenes, como $\int \mathrm{d}x f(x)$, y puede haber diversas anidaciones y notaciones abreviadas, pero en última instancia todas las integrales resultan de un producto con infinitesimal.

Pero, vamos a pretender que estamos usando análisis no estándar y que la integral dada en la pregunta es válida. Ya se señaló correctamente que el valor sería finito, pero en realidad se puede demostrar que:

$$\int (e^{\mathrm{d}x} - 1) = x$$

Lo resolveremos sustituyendo $e^{\mathrm{d}x} - 1$ por algo más útil. Pero, ¿dónde encontrar una buena sustitución?

Recordemos el uso de la notación de Leibniz (algo $\mathrm{d}$ es un poquito de algo, como señaló Silvanus Thompson) para tomar la derivada de la función exponencial (que resulta ser su propia derivada):

$$e^x + \mathrm{d}e^x = e^{x+\mathrm{d}x}$$ $$e^x + \mathrm{d}e^x = e^xe^{\mathrm{d}x}$$ $$e^x + \mathrm{d}e^x = e^x\left(1+\mathrm{d}x\right)$$ $$\mathrm{d}e^x = e^x\mathrm{d}x$$ $$\frac{\mathrm{d}e^x}{\mathrm{d}x} = e^x$$

En el tercer paso inventamos una sustitución $e^{\mathrm{d}x} = 1 + \mathrm{d}x$ para permitirnos continuar. Si bien llevó a encontrar la función exponencial que es su propia derivada y puede usarse para encontrar el valor de $e$, también nos permite evaluar la integral en cuestión.

$$e^{\mathrm{d}x} - 1 = \mathrm{d}x$$ $$\int (e^{\mathrm{d}x} - 1) = \int {\mathrm{d}x} = x$$

Pero ten cuidado con esto.

En primer lugar, tal uso de la notación de Leibniz no se considera correcto debido a la noción de números reales infinitamente pequeños pero distintos de cero que vagan libremente, esa es la razón por la que usamos límites y enfoque épsilon-delta en cálculo hoy en día. Si aún queremos hacer el truco anterior, debe tenerse en cuenta que estamos en el ámbito del análisis no estándar.

En segundo lugar, aunque el análisis no estándar puede considerar esa integral válida (porque interpreta la integral como una suma continua) y evaluarla (como se hizo anteriormente), sigue siendo una gran pregunta qué significa en realidad esa integral, tal como está formulada, y cómo llegó a ser.

Usando límites e identidades conocidas también podemos inventar estas integrales no estándar:

$$\int \sin{\mathrm{d}x} = x, \int \tan{\mathrm{d}x} = x$$

La demostración obvia se deja al lector como ejercicio. También consideré agregar $\int (\cos{\mathrm{d}x} - 1) = 0$ a la lista, pero no estoy seguro al usar infinitesimales de forma tan libre.

Descargo de responsabilidad y opinión: No estoy convencido sobre ningún significado y uso sensato de estas integrales y desaconsejo su uso. Utilizarlas puede llevar a confusión sin ningún beneficio. El único resultado para mí es reflexionar seriamente sobre la notación que usamos en matemáticas.