Si$\operatorname{Hom}(X,-)$ y$\operatorname{Hom}(Y,-)$ son isomorfos, ¿por qué son$X$ y$Y$ isomorfos?

Question

Supongamos que usted tiene un local pequeño de la categoría $\mathcal{C}$ y objetos de $X$ $Y$ tal que $\operatorname{Hom}(X,-)$ $\operatorname{Hom}(Y,-)$ son isomorfos como covariante functors. ¿Cómo se puede mejor ver que $X$ $Y$ son isomorfos en $\mathcal{C}$?

Por Yoneda Lema, sabemos $$ \operatorname{Hom}(\operatorname{Hom}(X,-),\operatorname{Hom}(Y,-))\cong\operatorname{Hom}(Y,X). $$

Por supuesto, existe un isomorfismo de functors $\Phi\colon\operatorname{Hom}(X,-)\to\operatorname{Hom}(Y,-)$, que por Yoneda lema corresponde a algunos de los $f=\Phi_X(\operatorname{id}_X)\in\operatorname{Hom}(Y,X)$. De nuevo por Yoneda Lema, tenemos un isomorfismo $\Phi^{-1}\colon\operatorname{Hom}(Y,-)\to\operatorname{Hom}(X,-)$, que corresponde a algunos de los $g=\Phi^{-1}_Y(\operatorname{id}_Y)\in\operatorname{Hom}(X,Y)$.

Mi sospecha es $f\circ g=\operatorname{id}_X$$g\circ f=\operatorname{id}_Y$, para dar a la conclusión. Pero yo estoy totalmente atascado tratando de mostrar que. ¿Alguien tiene una explícita de computación o algo para dar la conclusión? Gracias.

Answer 1

El Yoneda Lemma le dice que$C \to \widehat{C}$,$X \mapsto \hom(X,-)$ es completamente fiel. Cualquier functor completamente fiel refleja el isomorfismo.

Prueba: Permita que$F : C \to D$ sea un functor completamente fiel y deje$F(X) \cong F(Y)$. Elija un isomorfismo$F(X) \to F(Y)$. Elija un morfismo$f : X \to Y$ que induzca este isomorfismo, y elija un morfismo$g : Y \to X$ que induzca el isomorfismo inverso (plenitud). Entonces$f \circ g$ y$g \circ f$ inducen la identidad en$F(Y)$ resp. $F(X)$, para que sean la identidad (fidelidad). $\square$

Answer 2

Martin de Brandenburgo, la respuesta es la mejor manera de ver tu pregunta. Pero, si por alguna razón usted no desea que se refieren a las nociones de la plenitud y de la fidelidad explícitamente, sólo se supone que $$\eta:\operatorname{Hom}(X,-)\to\operatorname{Hom}(Y,-)$$ is a natural isomorphism and prove that $$\phi=\eta_X(1_X)$$ es un isomorfismo.

Esto se hace muy fácilmente mirando lo que connaturalidad de $\eta$ dice $\phi$: El hecho de que $\eta_Y$ es un isomorfismo le da un $f:X\to Y$ tal que $\eta_Y(f)=1_Y$. A continuación, la connaturalidad de la plaza da $\phi\circ f=1_X$.

Para demostrar que $f\circ \phi=1_Y$, escribe lo connaturalidad dice $f$ y evaluar la connaturalidad de la plaza en $1_X$.

Answer 3

En la prueba de la Yoneda Lema nos muestran que las naturales transformaciones $\text{Hom}(X,-)\to K(-)$ están en bijection con elementos de $KX$. Un elemento $e\in KX$ corresponde a la transformación de $\eta$ que envía a $g\in\text{Hom}(X,Y)$$(Kg)(e)\in KY$.

En particular, si $K(-)=\text{Hom}(Y,-)$, luego una flecha $f\in\text{Hom}(Y,X)$ corresponde a la transformación natural $$f^*:\text{Hom}(X,-)\to\text{Hom}(Y,-)\\ g\mapsto gf$$ el envío de $g\in\text{Hom}(X,Z)$$(Kg)(f)=\text{Hom}(Y,g)(f)=gf\in\text{Hom}(Y,Z)$.
Es trivial demostrar que $f^*$ es inyectiva para cada objeto $Z$ fib $f$ es épico, y además no es difícil mostrar que $f^*$ es siempre surjective iff $f$ es una sección (es decir, una izquierda inversa).

Corolario: Si $\text{Hom}(X,-)\cong\text{Hom}(Y,-)$,$X\cong Y$.
La prueba: Un isomorfismo natural $\sigma:\text{Hom}(X,-)\cong\text{Hom}(Y,-)$ es inducida por $\sigma(1_X)=:f\in\text{Hom}(Y,X)$, lo $\sigma=f^*$. Desde $f^*$ es un isomorfismo, es bijective, por lo tanto $f$ es una épica y también una sección, lo que implica que $f$ es un isomorfismo.