Antiderivada de polinomios

Question

Me gusta mucho cómo la diferenciación es introducido por polinomios:

Deje $P(t) \in A[t]$ :

$$D_P(t,s) = \frac{P(t) - P(s)}{t-s} \;\; \in A[t,s]$$

y la derivada de $P$ es

$$P'(t) = D_P(t,t).$$

Se asemeja a una definición de cálculo y no implica coeficientes de un polinomio. Es allí una manera de introducir una antiderivada para polinomios de tal manera? Que se debe ser constructivo, no deben meterse con los coeficientes y debería parecerse integral (que?) de alguna manera.

Obviamente no todo polinomio tiene una antiderivada en el mismo anillo, por ejemplo, $x^2$ no parece tener una antiderivada en $\mathbb Z[x]$.

Answer 1

UPD Nah, que no funciona, consulte Interpretación de $\sum_{i=1}^n i$ supongo que la respuesta es que es imposible.

VIEJO Estoy bastante sorprendido, pero la parte esencial es el hecho y resultó ser muy fácil en algún sentido. Ahora yo no entiendo por qué no lo entendía antes.

Primero, un poco de recordatorio:

$$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Sencilla analogía con el cálculo para encontrar la antiderivada de $x^s$$s \in \{1,2,3\}$:

$$\sum_{i=1}^{\frac{x}{\Delta x}} (i \, \Delta x) \, \Delta x = \frac{x(x + \Delta x)}{2} \to \frac{x^2}{2}$$

$$\sum_{i=1}^{\frac{x}{\Delta x}} (i \, \Delta x)^2 \, \Delta x = \frac{x(x + \Delta x)(2x + \Delta x)}{6} \to \frac{x^3}{3}$$

$$\sum_{i=1}^{\frac{x}{\Delta x}} (i \, \Delta x)^3 \, \Delta x = \frac{x^2 (x + \Delta x)^2}{4} \to \frac{x^4}{4}$$

Así, el candidato de la regla para encontrar algebraicas antiderivada de polinomio $P(t)$:

$$I_P(t, \Delta t) = \sum_{i=1}^{\frac{t}{\Delta t}} P(i \, \Delta t) \, \Delta t $$

$$\int P(t) \, dt = I_P(t,0)$$

Sin embargo aún no sé cómo interpretar esta fórmula. En realidad, yo no sé ni lo que es, por ejemplo,

$$1,2,3, \ldots, n,$$

y lo que es

$$\sum_{i=1}^n i^2$$

Lo único que sé es que da algo de $\mathbb Q[n]$, o quizás $\mathbb Z(n)$:

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Básicamente necesito aprender qué estructuras algebraicas son las cosas mencionadas pertenecen y qué operaciones de estas estructuras estaban comprometidos. Por la manera en que estas preguntas son válidas también para la diferenciación.