Encuentre el límite de$a_{n+1}=\sqrt{7-(-1)^na_n}$

Question

Encuentre el límite de la siguiente relación de recurrencia:$$a_{n+1}=\sqrt{7-(-1)^na_n}, n\geq 0$$ with $ a_0 = 0 $.

He pensado que podemos transformar la relación con lo siguiente:$$a_{n+1}^2+(-1)^na_n=7$ $ pero no puedo llevarlo más lejos. ¿Alguna ayuda? (Tampoco sé cómo probar la convergencia de dicha secuencia)

Edit 1: Creo que no es un duplicado, porque mi relación también tiene la parte$(-1)^n$.

Answer 1

Insinuación. Tenga en cuenta que las subsecuencias$(a_{2n})$ y$(a_{2n+1})$ tienen límites diferentes.

Además, $$ b_ {n +1} = a_ {2n +2} = \ sqrt {7-a_ {2n +1}} = \ sqrt {7- \ sqrt {7 + a_ {2n}}} = \ sqrt {7- \ sqrt {7 + b_n}} $$ Del mismo modo $$ c_ {n +1} = a_ {2n +1} = \ sqrt {7+ \ sqrt {7-a_ {2n-1}}} = \ sqrt {7+ \ sqrt {7-c_ {n-1}}} $$ Claramente,$(b_{2n})$,$(c_{2n})$,$(b_{2n+1})$,$(c_{2n+1})$ son monotónicos, delimitados y por lo tanto convergente.

Para$(b_{n})$, si$x$ es el límite, luego $$ x = \ sqrt {7- \ sqrt {7 + x}} $$ o$(7-x^2)^2=7-x$ ...