Ecuación funcional $f(f(n))=3n$

Question

Me encontré con este problema hace un tiempo pero no puedo pasar de cierto punto.

Dejemos que $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que $f(n+1)>f(n)$ et $$f(f(n))=3n$$ para todos $n$ . Evaluar $f(2001)$ .

Creo que la inducción podría ser la mejor manera de abordar esto, pero ni siquiera puedo elaborar un buen lema para empezar.

Esta pregunta es muy diferente a la del "duplicado". La otra, aunque comparte la misma ecuación, es más sencilla y sólo requiere calcular $f(10)$ , no se requiere ningún lema o inducción.

Answer 1

Por lo general, la forma de empezar es elegir algunos buenos valores para las variables.
Suponiendo que $0 \in \Bbb N$ (realmente no importa), tenemos $f(f(0))=0$ y como $f$ es estrictamente monótona da $f(0)=0$ .
Entonces sabemos que $f(f(1))=3$ Así que $f(1)$ debe ser $2$ -si lo fuera $1$ tendríamos $f(f(1))=1$ et $f(2)=3$
Ahora tenemos $f(f(2))=f(3)=6$ , $f(f(3))=f(6)=9$ y que dice $f(4)=7, f(5)=8$
Seguimos así, consiguiendo $$\begin {array} {r | r} n & f(n)\\ \hline 0&0\\1&2\\2&3\\3&6\\4&7\\5&8\\6&9\\7&12\\8&15\\9&18\\10&19\\11&20\\12&21\\13&22\\14&23\\15&24\\16&25\\17&26\\18&27\\19&30\end {array}$$ Nuestra hipótesis es que $f(3^n)=2\cdot 3^n$ entonces los valores aumentan en $1$ hasta $f(2\cdot 3^n)=3^{n+1}$ entonces los valores aumentan en $3$ hasta $f(3^{n+1})=2\cdot 3^{n+1}$
Tienes razón en que esto se puede demostrar por inducción, pero te lo dejo.
Entonces, como $2001=2\cdot3^6+543, f(2001)=3^7+3\cdot 543=3816$