Dominación del polinomio de valor complejo por la potencia más alta.

Question

El problema:

Deje $P(n)$ ser un polinomio de grado $n$. Vamos $$M(r):= \underset{|z|\le r}{\mbox{sup}} \hspace{2mm} \left|P(z)\right|.$$ Deseo establecer que $$r\mapsto \frac{M(r)}{r^n}$$ for $r>0$ is non-increasing as a function of $r$.

Al menos creo que esto es cierto y necesario para la conclusión de una larga tarea para la casa :P.

1er intento de solución

Creo que es razonable suponer que el polinomio no tiene término constante, por la adición de un término constante que tengo entendido que solo puedes cambiar el $M(r)$ plazo por una constante. Por lo $P(z)$ se pueden tomar para solucionar el origen. Considerando entonces, dicen los holomorphic función, $$\frac{P(rz)}{M(r)}$$ la función debe tomar el disco para el disco, así que podemos aplicar Schwartz Lema, y obtener la desigualdad: $$\left|\frac{P(rz)}{M(r)}\right|\le |z|$$ Desde aquí espero a elegir un bonito $z$ en el disco para establecer algo útil... estoy en una pérdida.

2º intento de solución

Me hizo empezar a pensar, que establece una desigualdad entre las expresiones que no acaba de llegar a mí que una expresión es no creciente. Lo que me está teniendo derivados. Creo que es claro $M(r)$ es suave. Así podemos diferenciar la función en cuestión (con respecto a $r$) y conseguir que la derivada es:

$$\frac{M'(r)r^n - n r^{n-1}M(r)}{r^{2n}}=\frac{M'(r)r - n M(r)}{r^{n+1}}$$

Queremos que este derivado es $\le 0$. Es decir, que

$$M'(r) \le \frac{n M(r)}{r}$$

El RHS tipo de me hace pensar de lo $M'(r)$ vería. $P'(z)$ sería, por supuesto, casi $\frac{n P(z)}{z}$, salvo, naturalmente, el término constante de $P(z)$ que desaparece a la hora de diferenciar.

Answer 1

Si$f$ está completo, entonces según el principio de módulo máximo$\max_{|z|=r}|f(z)|$ no disminuye en$r$. Tomar $f(z) = z^n P(\tfrac{1}{z})$. Esta es una función completa (un polinomio). Entonces$\max_{|z|=r} r^n|P(\tfrac{1}{z})|$ no disminuye en$r$. En otras palabras,$\max_{|z|=r}|P(z)|/r^n$ no aumenta en$r$.

Answer 2

Definir $g(z) = f(z)/z^n$. A continuación, $g$ es analítica en $\mathbb C \setminus \{0\}$, e $g(z) \rightarrow a_n$, el coeficiente inicial de $f$$z\rightarrow \infty$.

Supongamos que al contrario que $M(r_1)/r_1 ^n &lt M(r_2)/r_2^n$ algunos $r_1 &lt r_2$. Equivalentemente,

$$\sup\{|g(z)| : |z| = r_1 \} &lt \sup\{|g(z)| : |z| = r_2 \}$$

Por el máximo módulo principio, $g$ alcanza su máximo módulo en el anillo $A_r = \{r_1 \leq |z| \leq r\}$ sobre el límite de $A$ por cada $r > r_2$. Para cada una de las $r$, $|g(w)| > \sup\{|g(z)| : |z| = r_1\}$ algunos $w\in A_r$ (en concreto, con $|w| = r_2$) por hipótesis, por lo $g$ debe alcanzar su máximo en el módulo de $A_r$ en algún lugar de $\{|z| = r\}$. Tomando el límite cuando $r\rightarrow \infty$, obtenemos $|g(z)| &lt |a_n|$ $A_r$ por cada $r$, y, en particular, en $\{|z| = r_1\}$.

Pero, por la integral de Cauchy fórmula, tenemos

$$|a_n| =|\frac{1}{2\pi}\int_{|z| = r_1} \frac{f(z)}{z^{n+1}} dz | \leq \frac{1}{r_1^n} M(r_1) = \sup\{|g(z)| : |z| = r_1\} &lt |a_n| .$$

Esta es una contradicción.