¿La categoría proyectivamente estable tiene módulos proyectivos?

Question

Estoy leyendo el libro de los Elementos de la Teoría de representaciones de Álgebras Asociativas: Volumen 1 . En la página 109, el projectively estable categoría se define por $$ \underline{mod} A = mod A/\mathcal{P}. $$ The objects of $\underline{mod}$ is the same as the objects in $mod$ but the $K$-vector space $\underline{Hom}_A(M, N)$ of morphisms from $M$ to $N$ in $\underline{mod}$ se define como el cociente de espacio vectorial $$ \underline{Hom}_A(M, N) = Hom_A(M, N)/\mathcal{P}(M, N). $$ Aquí $\mathcal{P}(M, N)$ es el subconjunto de a $Hom_A(M, N)$ que consta de todos los homomorphisms que el factor a través de un proyectiva $A$-módulo.

Por la definición, tenemos módulos proyectivos en $\underline{mod}A$. Pero se dice que $\underline{mod}A$ no tiene proyectivas de los módulos en el libro Teoría de representaciones de Álgebras de Artin. Estoy confundido.

Se dice en la Proposición 2.2 en la página 110 del libro de los Elementos de la Teoría de representaciones de Álgebras Asociativas: Volumen 1 que $M \mapsto Tr M$ induce una $K$-lineal de la dualidad functor $Tr: \underline{mod}A \to \underline{mod}A^{op}$. Si $\underline{mod}A$ tiene un módulo proyectivo $P$,$Tr P = 0$$Tr (Tr P) = Tr(0) = 0 \neq P$. Esto contradice el hecho de que $Tr$ es una dualidad functor. Pues yo creo que eso $\underline{mod}A$ no tiene un módulo proyectivo. ¿Es esto cierto? Muchas gracias.

Answer 1

Como ya mencioné en el comentario, la proyectiva objetos isomorfo a $0$ desde el mapa de identidad $P\to P$ obviamente factores a través de un módulo proyectivo y por lo tanto el mapa de identidad es el cero mapa, el cual sólo es cierto para el módulo cero.

Como se puede ver a partir de que, puesto que cada módulo proyectivo consigue "muerto" cuando se va a la estable en la categoría de módulo puede dejar fuera antes, es decir, se puede construir el establo en la categoría de módulo como un factor de la categoría de la subcategoría plena de todos los módulos proyectivos. En ese sentido, la estable la categoría de módulo no contiene módulos proyectivos.

Si no me equivoco esto no significa que es estable la categoría de módulo no tiene proyectivas de los objetos, por ejemplo,$A=k[x]/x^2$. Entonces, hasta el isomorfismo, en el establo en la categoría de módulo de $A$ sólo hay una indecomposable objeto a isomorfismo (desde el indecomposable proyectiva obtiene isomorfo a $0$) y, por lo tanto este debe ser un proyectiva objeto (en el sentido categórico).

Para tu segunda pregunta: Tenemos $\operatorname{Tr}\operatorname{Tr}(P)=0$ es correcto, pero $P\cong 0$, por lo que esta no es la contradicción de ser una dualidad.