¿Cuál es la forma general de los números complejos elevados a los poderes de números enteros?

Question

Decir que tengo un número complejo, $a+bi$, y quiero subir a un número entero de potencia $n$. Sé que se puede calcular como: $$(a+bi)^n= \sum_0^n{n\choose k}a^{n-k}(bi)^{k}$$ Sin embargo, quiero ser capaz de calcular las partes reales e imaginarias por separado, por razones de tratar con el equipo de programación que son irrelevantes para la cuestión. He intentado con esto: $$\Re\{(a+bi)^n\} = a^n-\sum_1^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}{n\choose 2k}a^{n-2k}b^{2k}$$ and $$\Im\{(a+bi)^n\} = i\sum_0^{\lceil{\frac{n}{2}}\rceil}{n\choose 2k+1}a^{n-(2k+1)}b^{2k+1}(-1)^k$$ Pero estoy 100% convencido de que he cometido un error y pierde la trama en lo que yo estoy tratando de hacer.

Estoy en lo cierto en mi forma de pensar? Y si no, ¿cómo podría solucionar estas ecuaciones?

Answer 1

Escribe el número en forma polar:

ps

ps

...¡Tan sencillo como eso!

Answer 2

Eche un vistazo a este hilo :

Dado un número complejo$z=a+bi$, su$n$ th poder se puede escribir en forma cerrada como $$ (a + bi) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor n / 2 \ right \ rfloor} \ left (\begin{array}{c} n\\ 2k \end {array} \ right) (- 1) ^ {k} a ^ {n-2k} b ^ {2k} + i \ sum_ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor n / 2 \ right \ rfloor} \ left (\begin{array}{c} n\\ 2k+1 \end {array} \ right) (- 1) ^ {k} a ^ {n-2k-1} b ^ {2k +1 }. $$