¿Por qué todavía hacemos matemáticas simbólicas?

Question

Acabo de leer que la mayoría de los problemas prácticos (ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales) no tiene una solución simbólica, pero sólo un número uno.

Los cálculos numéricos, a mi entender, nunca tratar con números irracionales, pero sólo los números racionales.

¿Por qué los matemáticos construcción de los números reales y pasar por el dolor de la utilización de su complicada de propiedades para desarrollar análisis real, etc. para ser capaz de resolver sólo un par de casos simbólicamente?

¿Por qué no matemáticos lidiar con números reales y cálculo simbólico si la mayoría de los casos se debe utilizar racionales y computación numérica?

Answer 1

Intentar solucionar $x^{1/3} = 0$, con un "cálculo simbólico". Ahora a tratar de resolver $x^{1/3} = 0$, con el Método de Newton. El punto es que los métodos numéricos pueden fallar y cualquier persona que utilice métodos numéricos deben tener una comprensión de las matemáticas, para que puedan detectar cuando un método numérico no está funcionando y tal vez incluso solucionar el problema. También como demuestra este caso, a veces el cálculo simbólico es más fácil.

Todos estos métodos de cálculo deben ser diseñadas e implementadas. Se necesita una comprensión de la matemática subyacente a ello.

Answer 2

$x ^ 2 = 2$ no tiene una solución en los racionales. Así que ¿qué podría posiblemente significa que tener una solución numérica?

¿Significa que puede producir un números racionales cuyas plazas están arbitrariamente cerca de $2$? Felicitaciones: su noción de "tener una solución numérica" simplemente está reinventando la noción de "número real", sólo en una forma que es mucho más complicada pensar y manipular de lo habitual.

Answer 3

Si no había matemática simbólica, aún estaríamos viviendo en cuevas y se alimentan de raíces.

Las fórmulas tienen un significado:

$$F=m\cdot$$ es suficiente para explicar una gran parte del universo.

Los números son poco informativas y no estructurados: $$41.04=7.54\cdot5.443$$ le dice a usted acerca de nada.

Los números reales se han inventado, porque ellos modelo muy bien nuestra intuición de un continuum, como puntos en el espacio, y que dan lugar a miles de millones de temas interesantes.

Los valores numéricos son esencialmente enteros, desesperadamente tratando de imitar a los antiguos.

Simbólico soluciones a un problema son compactos y mostrar patrones que pueden ser manejados por la mente humana.

Soluciones numéricas son enormes y tan mudos como los ordenadores.

Answer 4

Además de lo que otros están diciendo: muchos resultados matemáticos y toda incluso ramas de las matemáticas, no puede hacerse numéricamente porque son sobre los objetos que son mucho más generales que números. Teoría de grupos y topología vienen a la mente como ejemplos.

Answer 5

Esta es una gran pregunta, y me gusta especialmente ya que soy un estudiante de ciencias computacionales y así pasan mis días alrededor numérica de software y aproximaciones.

Matemática simbólica que existe por la misma razón que no todos los de la física, la química, la biología, la economía, etc. puede ser reducido a un gran programa de ordenador. Todavía tenemos que pensar y razonar acerca de los problemas. Incluso por pura matemática, esta no es la excepción.

En cierto modo, su cuestión se responde sola. Métodos numéricos puede ser genial para un montón de problemas, pero ninguno de ellos es perfecto. Hay un continuo desarrollo en curso para los nuevos, y los intentos para desarrollar eficiente de algoritmos numéricos para problemas que no pueden todavía ser resuelto numéricamente. Sin embargo, numérico software no puede desarrollar nuevas numérica de software. Y usted no puede numéricamente demostrar que ciertos algoritmos numéricos son estables, o mostrar cómo de eficientes son, o por qué uno es mejor que el otro en ciertos casos. Toda esta investigación en métodos numéricos en sí tiene que ser hecho de forma simbólica.

(Ah, y por supuesto, hay una gran cantidad de matemáticas que no está basado alrededor de cálculo y no se puede hacer de forma numérica en cualquier forma.)

También: Como otra respuesta señala algunos de los problemas pueden resolverse más fácilmente simbólicamente que con un complicado método numérico. El enfoque matemático a menudo puede aportar más información, más de conocimiento, que sólo la respuesta.