Raíces enteras generales$\sqrt[k]{n}$ aproximándose$\pi$

Question

Hoy cuando estaba jugando con uno de mis homebuilt numéricos $k$:th-root-solvers, he encontrado que el número de $\sqrt[3]{31} = 3.14138\cdots \approx \pi$ . Una muy buena aproximación a $\pi$, en realidad. Tengo curiosidad de saber si hay algunos resultados en general de cómo buenas aproximaciones para $\pi$ que se puede obtener si uno se limita a realizar $$\sqrt[k]{n}, \hspace{1cm} k,n\in \mathbb N$$ Podemos derivar algunas obligado en términos de $k$ $n$ de lo cerca que puede llegar a $\pi$? También, ¿es una coincidencia que $n=2^m-1$ da un buen valor para algunos $k,m$ o podemos demostrar que los $n$ son más fructíferos de alguna manera? Cualquier cosa es bienvenida, pero me imagino que argumentos geométricos en un círculo podría ser más útil(?)

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EDITAR una mejor aproximación (correcto de dígitos decimales subrayado) $$(31^4+748)^{1/12}= \underline {3.1415926}0 \cdots$$ Que fue encontrado por explorar $$(31^k+n)^{1/(3k)}\cdots$$

Sin embargo aquí la $n$ parece, en general, obtener mucho más grande, que no es tan simple o elegante.

Answer 1

Aproximations puede conseguir tan bueno como usted desea. De hecho, es fácil ver que $$A=\{\sqrt[k]n \in \mathbb R\colon n,k\in \mathbb N\}$$ es denso en $[1,\infty)$.

Si queremos tener $$\alpha-\varepsilon<\sqrt[k]n<\alpha+\varepsilon$$ para$\alpha\ge1$$\varepsilon >0$, luego tenemos a $k$ $n$ tal que $$(\alpha-\varepsilon)^k<n<(\alpha+\varepsilon)^k.$$

Bajo nuestros supuestos se puede demostrar que $$(\alpha+\varepsilon)^k-(\alpha-\varepsilon)^k \to \infty$$ como $k \to \infty$, por lo que, en particular, esta diferencia puede ser hecho mayor que uno por tomar $k$ grandes suficiente.

Deje $k_0$ ser un valor de $k$, entonces tenemos que tener algo de $n_0\in \mathbb N$ tal que $(\alpha-\varepsilon)^{k_0}<n_0<(\alpha+\varepsilon)^{k_0}$ (por ejemplo, al menos una de las $\left \lfloor (\alpha+\varepsilon)^{k_0} \right \rfloor$ $\left \lceil (\alpha-\varepsilon)^{k_0} \right \rceil$ deben trabajar como un $n_0$).

Entonces tenemos $$\alpha-\varepsilon<\sqrt[k_0]{n_0}<\alpha+\varepsilon$$ and since $\alpha\ge 1$ and $\varepsilon >0$ were arbitrary, it turns out that $$ is dense in $[1,\infty)$.