¿Hay algún criterio para mostrar que una función continua simétrica ($f(x,y)=f(y,x)$) de dos variables$f:\Bbb S^1\times\Bbb S^1\to \Bbb R^2$ pase desde el origen? es decir,$$\exists\,(x,y)\in \Bbb S^1\times\Bbb S^1,\,x\neq y\quad s.t. \quad f(x,y)=(0,0).$ $, donde sabemos que$f$ pasa de las cuatro regiones y$f(x,x)=(0,0)$ para todos$x\in\Bbb S^1$. Traté de definir una función de valor real a partir de$f$ y utilizar el teorema del valor intermedio, pero no pude encontrar un mapa útil. ¿Es suficiente mostrar que${\rm Im} f$ simplemente está conectado?
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Deje que $\alpha(\theta)=\left\lgroup \begin{array}{c} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array} \right\rgroup \in \mathbb{S}^1$ and $\beta(\varphi)=\left\lgroup \begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{array} \right\rgroup\in\mathbb{S}^1$ parametrizations of $\mathbb{S}^1$ whit $0\leq \theta\leq 2\cdot \pi$ and $0\leq \varphi\leq 2\cdot \pi$.
Por Poincaré-Miranda teorema si hay $\theta^\prime,\theta^{\prime\prime}\in [0,2\pi]$ $\varphi^\prime,\varphi^{\prime\prime}\in [0,2\pi]$ tal que $$ f_1 \left( \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \theta^\prime \\ \sin \theta^{\prime} \end{array} \right\rgroup , \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{array} \right\rgroup \right) <0, \quad f_1 \left( \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \theta^{\prime\prime} \\ \sin \theta^{\prime\prime} \end{array} \right\rgroup , \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{array} \right\rgroup \right) >0,\quad \forall \varphi \[\varphi^{\prime},\varphi^{\prime\prime}] $$
$$ f_2 \left( \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array} \right\rgroup , \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \varphi^{\prime} \\ \sin \varphi^{\prime} \end{array} \right\rgroup \right) <0, \quad f_2 \left( \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array} \right\rgroup , \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \varphi^{\prime\prime} \\ \sin \varphi^{\prime\prime} \end{array} \right\rgroup \right) >0,\quad \forall \theta \[\theta^{\prime},\theta^{\prime\prime}] $$ luego hay $\theta^\ast$ $\varphi^\ast$ tal que $$ f_1 \left( \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \theta^{\ast} \\ \sin \theta^{\ast} \end{array} \right\rgroup , \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \varphi^{\ast} \\ \sin \varphi^{\ast} \end{array} \right\rgroup \right) =0\;\; \mbox{ y } \;\; f_2 \left( \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \theta^{\ast} \\ \sin \theta^{\ast} \end{array} \right\rgroup , \left\lgroup \begin{array}{c} \cos \varphi^{\ast} \\ \sin \varphi^{\ast} \end{array} \right\rgroup \right) =0, $$ La de Poincaré–Miranda teorema es una generalización del teorema del valor intermedio.
