Grupo fundamental de matrices nilpotentes

Question

actúa en $G=SL_n(\Bbb C)$ $N=\{A \in M_n(\Bbb C)| A^n=0 \}$ verbal y es denso en $X=$ $A_0=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0& 0 & \dots & 1 \\ 0 &0& 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}$ la órbita de $N$. ¿Cómo calcular el grupo fundamental de la $X$ o equivalente $N$? Por la secuencia de tiempo exacta de una fibra paquete sé $ \pi_1(X)$ tiene orden $n$, $\Bbb Z/n \Bbb Z$?

Answer 1

Creo que probablemente tienen este mismo por este punto, pero a $\pi_1(X)$ es, de hecho, $\mathbb{Z}_n$ y a ver que hacemos en el hecho de utilizar el tiempo exacto homotopy secuencia. La conjugación de la acción de $SL_n(\mathbb{C})$ en la órbita $X=SL_n(\mathbb{C})\cdot A_0$ es transitiva, por definición, de modo que produce un director fibring

$G\rightarrow SL_n(\mathbb{C})\xrightarrow{ev} X$

donde el subgrupo $G\leq SL_n(\mathbb{C})$ es el estabilizador de $A_0$. Por lo tanto $g\in SL_n(\mathbb{C})$ se encuentra en $G$ si y sólo si satisface $g\cdot A_0 =A_0 \cdot g $.

Trabajar libremente, $A_0$ tiene componentes $(A_0)_{ij}=\delta_{i,j-1}$, por lo que la ecuación anterior conduce a la condición de $g_{i,j-1}=g_{i+1,j}$ para los componentes de $g\in G$ (esto es descuidado ya que todavía tenemos que trabajar para ordenar la frontera de los casos, lo siento). El resultado final es que los elementos $g\in G$ tiene el siguiente formulario

$g=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_n \\ 0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0& 0 & \dots & a_{2} \\ 0 &0& 0 & \dots & a_1 \end{bmatrix}$

con ceros debajo de la diagonal, y la constante de valores complejos a lo largo de la diagonal y cada subdiagonal por encima de ella. Desde $G\leq SL_n(\mathbb{C})$ también tenemos la condición de unidad determinante, por lo $det(g)=(a_1)^n=1$ nos dice que el valor de la constante de $a_1$ a lo largo de la diagonal principal se encuentra en el complejo de $n^{th}$raíces de la unidad $\mathbb{Z}_n\leq \mathbb{C}$.

Ahora en el hecho de $G\simeq \mathbb{Z}_n$, ya que tenemos la homotopy $F((a_1,\dots,a_n),t)=(a_1,(1-t)a_2,\dots,(1-t)a_n)$ donde escribimos $g=(a_1,\dots,a_n)$ $g\in G$ anterior. Este homotopy $F$ comienza en la identidad de $G$ y los contratos de abajo a la diagonal subgrupo $\mathbb{Z}_n\leq G$. En particular,$\pi_0(G)=\mathbb{Z}_n$$\pi_1(G)=0$. Desde $SL_n(\mathbb{C})$ simplemente se conecta también tenemos que $\pi_0(SL_n(\mathbb{C}))=0$$\pi_1(SL_n(\mathbb{C}))=0$, por lo que el homotopy secuencia exacta de los fibration introducido por encima le da un isomorfismo

$\pi_1(X)\cong \pi_0(G)\cong\mathbb{Z}_n$

Para su mayor homotopy grupos, tenemos $\pi_n(X)\cong\pi_n(SL_n(\mathbb{C}))\cong\pi_n(SU(n))$.