Ningún polígono tiene la misma área que la diferencia entre sus círculos inscrito y circunscrito.

Question

NIngún polígono tiene la misma área que la diferencia entre sus círculos inscrito y circunscrito. Los círculos inscritos deben tocar cada lado y el círculo circunscrito debe tocar cada vértice. He demostrado esto para algunos casos simples pero no he podido demostrarlo de manera general. ¿O hay alguna contra-prueba? Por favor ayuda.

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Editar:
dbx demostró que esto no se cumple para algunos polígonos irregulares. ¡Un gran aplauso para él por descifrar ese duro rompecabezas! Entonces algunas nuevas preguntas para reflexionar:
¿Hay un número finito de polígonos irregulares que desobedecen esta hipótesis?
¿Hay un número finito de polígonos irregulares que obedecen esta hipótesis?
¿Alguien podría dar más ejemplos de tales polígonos que no obedecen esta hipótesis?
También gracias a Ross y anderstood que demostraron que esto sí se cumple para todos los polígonos regulares.

Extra:
He ampliado esta idea: No hay tal polígono cuyo perímetro sea igual a la diferencia entre las circunferencias de su círculo circunscrito e inscrito .
Tal vez también continúe esto en la tercera dimensión si obtengo resultados concluyentes para el post anterior. ¡Todo lo mejor!

Answer 1

Aquí hay una prueba de que existe un contraejemplo.

Dado un polígono, llamemos su área $A$. Sea $A_R$ el área de la circunferencia circunscrita, $A_r$ el área del círculo inscrito y $A_\Delta$ la diferencia $A_R - A_r$. Queremos encontrar un polígono tal que $A = A_\Delta$. Mostraré que existe un cuadrilátero, específicamente un trapecio.

Primero consideremos el cuadrado unitario, con área $A = 1$. Su círculo inscrito tiene un área de $\pi/4$ y su circunferencia circunscrita tiene un área de $\pi/2$, por lo tanto $A_\Delta = \pi/4 < 1 = A$. Ahora alarguemos un lado, para crear un trapecio isósceles (ver figura). El área de este trapecio es $A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+b)^2(a-b+2c)(b-a+2c)}$.

Cada trapecio isósceles tiene una circunferencia circunscrita, y además, su área está dada por: $$A_R = \pi c^2 \frac{ab+c^2}{4c^2 - (a-b)^2} $$

Ahora podemos restringir los valores de $a, b, c$ para asegurar que haya un círculo inscrito; en este caso necesitamos que $a + b = 2c$. También podemos asumir que $b = 1$, simplificando $A$ considerablemente: $$A = \frac{1}{4}\sqrt{4c^2 \cdot 2a \cdot 2b} = c\sqrt{a} = \frac{1}{2}(a+1)\sqrt{a} $$

Ahora que se garantiza un círculo inscrito, podemos encontrar su área: $$A_r = \pi\frac{a}{4} $$

Usando $b=1$, tenemos entonces: $$A_\Delta = \pi \left( c^2 \frac{a+c^2}{4c^2-(a-1)^2} - \frac{a}{4} \right) = \pi \left( \frac{(a+1)^2}{4} \cdot \frac{a + (a+1)^2/4}{(a+1)^2 - (a-1)^2} - \frac{a}{4} \right) $$ $$ = \pi \left( \frac{(a+1)^2}{4} \cdot \frac{a + (a+1)^2/4}{4a} - \frac{a}{4} \right)$$

Es un poco confuso, pero podemos usar el teorema del valor intermedio. En lugar de buscar un $a$ que satisfaga $A = A_\Delta$, solo necesitamos encontrar uno con $A < A_\Delta, ya que para el cuadrado unitario teníamos $A > A_\Delta$. Elija $a = 2$. Entonces $A_\Delta \approx 2.18$ y $A \approx 2.12$, es decir, $A < A_\Delta$.

Dado que el trapecio isósceles es una deformación continua del cuadrado, se aplica el teorema del valor intermedio y debe haber algún valor de $a$ entre $1$ y $2$ con $A = A_\Delta. La conjetura es falsa.

Answer 2

Con polígonos regulares la afirmación es cierta. Sea $R$ el radio del círculo circunscrito, $r$ el radio del círculo inscrito, y $n$ el número de lados. Tenemos $r=R\cos \frac {2\pi}n$. El área del círculo exterior es $\pi R^2$ y del círculo interior es $\pi R^2 \cos^2 \frac {2\pi}n$, por lo tanto la diferencia es $\pi R^2 \sin^2 \frac {2 \pi}n$. El área del polígono es $nR^2 \sin \frac {2\pi}n \cos \frac {2\pi}n=\frac n2 R^2 \sin \frac {4\pi}n$ La segunda es casi igual al área del círculo exterior, mientras que la primera es más pequeña por un factor $(\frac {2\pi}n)^2$. La transición ocurre entre $n=5$ y $n=6.

Usando el enlace proporcionado por Blue en un comentario, parece que la afirmación es falsa. Vimos que para un hexágono regular la diferencia entre los círculos es menor que el del hexágono regular. Wikipedia indica que para hexágonos bicéntricos si $r$ es el inradio, $R$ el exradio, y $x$ la distancia entre los centros $$3(R^2-x^2)^4=4r^2(R^2+x^2)((R^2-x^2)^2+16r^4x^2R^2$$. A medida que $x$ aumenta, $r$ disminuye aumentando la diferencia de áreas de los círculos. El área del hexágono parece estar disminuyendo también, por lo que habrá algún punto en el que se cumpla la igualdad.

Answer 3

John Bentin descubrió un error en el cálculo numérico que cambia la conclusión.

La afirmación parece ser verdadera para los triángulos. Denotemos $a, b, c$ los lados y $A$ su área. El radio del círculo inscrito se da por

$$r=\dfrac{2A}{a+b+c}$$

El radio del círculo circunscrito se da por

$$R=\dfrac{abc}{4A}$$

El área $A$ se da por la fórmula de Herón:

$$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\quad \text{con}\quad p=\tfrac{1}{2}(a+b+c)$$

Entonces la pregunta es si la ecuación $A=\pi R^2-\pi r^2$ tiene soluciones.

Define $f(a, b, c)=\pi R^2 -\pi r^2 -A$. Parece que $f$ siempre es positiva, por lo que no tiene raíces.

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Para responder a tu comentario: Si te limitas a polígonos regulares, denota por $R$ el radio del círculo circunscrito, el radio del círculo inscrito es

$$r=R\cos(\pi/n)$$

y el área del polígono es

$$A=\tfrac{1}{2}nR^2\sin(2\pi/n)$$

Como anteriormente, define $g(n)=R^2(\pi(1-\cos(\pi/n))-\tfrac{1}{2}n\sin(2\pi/n))$ e intenta resolver $g(n)=0$ para algún entero $n$. El signo de $g$ cambia entre $3$ y $4$ y parece estar disminuyendo (por demostrar), por lo que no parece haber ninguna raíz.