Cantidad esperada de tiempo hasta que Fred compra un equipo nuevo

Question

Fred amado equipo va a durar un $Expo(λ)$ cantidad de tiempo hasta que haya un fallo de funcionamiento. Cuando eso sucede, Fred va a tratar de arreglarlo. Con una probabilidad de $p$, él será capaz de conseguir que se fija. Si él es capaz de conseguir que se fija, el equipo es tan bueno como nuevo otra vez y tendrá una duración adicional, independiente de $Expo(λ)$ cantidad de tiempo hasta el próximo fallo de funcionamiento (cuando de nuevo él es capaz de conseguir que se fija con probabilidad p, y así sucesivamente). Si después de cualquier fallo de funcionamiento Fred es incapaz de arreglarlo, él va a comprar un equipo nuevo. Encontrar el tiempo esperado hasta que Fred compra de un equipo nuevo. (Suponga que el tiempo pasado en el equipo diagnóstico, reparación, e ir de compras es insignificante).

$T$~$Expo(λ)$; Deje $X$ ser el momento hasta el que compra un equipo nuevo:

$E[X]=E[X|I_p=1]p+E[X|I_p=0]q$, donde el primer término de la derecha por el significado dice que con prob. $p$ equipo en promedio duró $E[T]$ tiempo hasta que se rompen +$E[X]$ después de ser reparado hasta el momento de ser reemplazado.

Pero esta lógica es errónea. Me puedes dar una pista?

Answer 1

Que $N$ sea el número de fallos hasta que Fred compra un equipo nuevo y $\{T_1,T_2,\ldots,T_N\}$ ser los intervalos de tiempo entre fallos de funcionamiento. Dadas $\mathbb{E}[T_i] = \dfrac{1}{\lambda}$ y $\mathbb{E}[N] = \dfrac{1}{1-p}$. El tiempo para comprar una computadora nueva, $ X = \sum_{i=1}^N T_i$. Usando el lema de Wald, el tiempo esperado, $\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[T]\mathbb{E}[N] = \dfrac{1}{\lambda(1-p)}$.

Answer 2

Mancha de enfoque utilizando el proceso de Poisson división/superposición:

El problema puede ser visto como un proceso de Poisson con tasa de $\lambda$, con cada mal funcionamiento (llegada) independientemente con la etiqueta "corregir" o "que no se puede reparar" con una probabilidad de $p$ o $1-p$ respectivamente. Por la división de Poisson, la pueden corregir fallos forma de un proceso de Poisson de tasa de $p\lambda$, y el que no se puede reparar averías forma de un proceso de Poisson de tasa de $(1-p)\lambda$, y estos dos procesos son independientes. Entonces usted está pidiendo el tiempo de espera hasta la primera no se puede reparar el mal funcionamiento, que es la expectativa de una $\text{Expo}((1-p)\lambda)$ variable aleatoria, es decir,$\frac{1}{(1-p) \lambda}$.

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Enfoque directo:

Deje $T_1$ ser el tiempo hasta el primer fallo de funcionamiento, y deje $X$ ser el tiempo hasta la primera no se puede reparar el mal funcionamiento. Deje $I_1$ ser el indicador para el caso de que el primer fallo de funcionamiento se pueden corregir.

$$E[X] = (1-p) E[X \mid I_1=0] + p E[X \mid I_1 = 1].$$ Nota:$E[X \mid I_1 = 0] = E[T_1]$. Tenga en cuenta también que $E[X \mid I_1 = 1] = E[X] + E[T_1]$, ya que después de este mal funcionamiento, el proceso es idéntico al proceso original. Así $$E[X] = (1-p) E[T_1] + p(E[X] + E[T_1]).$$ La solución para $E[X]$ se obtiene la misma respuesta anterior.

Answer 3

Usando las variables definidas, tenemos %#% $ #%

Lo que esto significa es que, si la computadora funciona mal y no se fija correctamente, el tiempo de vida es simplemente el valor de $$E(X)=(1−p)E(T)+p(E(X)+E(T))$. Si el ordenador es fijo, el tiempo transcurrido es de $T$ y otra vez se reinicia por lo que es volver a $T$. Para resolver esto seguramente no es un problema.