Los estabilizadores deben ser del mismo orden

Question

Sea $G$ sea un grupo que actúa sobre un conjunto $X$ . Sea $x,y \in X$ ser de la misma órbita. Me las arreglé para demostrar que $\mathrm{Stab}(x)$ y $\mathrm{Stab}(y)$ son conjugados. Pero cómo deducir de esto que $\mathrm{Stab}(x)$ y $\mathrm{Stab}(y)$ tienen el mismo orden?

¿Podríamos simplemente confiar en el hecho de que cada elemento de $\mathrm{Stab}(x)$ tienen un elemento conjugado con el mismo orden de $\mathrm{Stab}(y)$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Así que has demostrado que $\mathrm{Stab}(x)$ y $\mathrm{Stab}(y)$ son subgrupos conjugados de $G$ es decir, existe algún elemento $g\in G$ para lo cual $\mathrm{Stab}(x)=g^{-1}\mathrm{Stab}(y)g$ .

Ahora, demuestre que la función $c_g:G\to G$ definido por $c_g(h)=g^{-1}hg$ es una biyección, de modo que $\mathrm{Stab}(x)$ y su imagen bajo $c_g$ a saber $\mathrm{Stab}(y)$ deben tener la misma cardinalidad. (Nota: una función de este tipo se conoce como automorfismo interior de $G$ , ver en Wikipedia .)