Si $\lim_n f_n(x_n)=f(x)$ por cada $x_n \to x$ entonces $f_n \to f$ uniformemente en $[0,1]$ ?

Question

Esta es una pregunta autopropuesta, por lo que desconozco la respuesta y me gustaría saber qué opina usted al respecto.

Dejemos que $f,f_n:[0,1]\to \mathbb R$ sean funciones continuas. Supongamos que para cada secuencia $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ convergiendo a un punto $x\in [0,1]$ tenemos $$\lim_n f_n(x_n)=f(x).$$ ¿Podemos decir que $f_n$ converge uniformemente a $f$ en $[0,1]$ ?

En primer lugar, ¿crees que la pregunta está bien planteada? Estoy atascado pensando en ella y no consigo demostrarla ni encontrar un contraejemplo. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Sí, es cierto:

Supongamos que la convergencia $f_n \to f$ es no uniforme pero que $f(x) = \lim_{n\to\infty}f_n(x_n)$ para toda secuencia convergente $x_n\to x$ en $[0,1]$ .

Después de pasar a una subsecuencia del $f_n$ podemos suponer que hay $\varepsilon \gt 0$ tal que para todo $n \in \mathbb{N}$ tenemos $\sup_{x \in [0,1]} \lvert f(x) - f_n(x) \rvert \gt \varepsilon$ . Esto implica que existe una secuencia de puntos $x_n \in [0,1]$ tal que $\lvert f(x_n) - f_n(x_n) \rvert \gt \varepsilon$ para cada $n$ . Después de pasar a otras subsecuencias, podemos suponer que $x_n \to x \in [0,1]$ por la compacidad de $[0,1]$ . Pero entonces estamos en problemas: nuestras hipótesis nos dicen que $$\tag{$ \N - El brindis $} \lim_{n\to \infty} \lvert f(x) - f_n(x_n)\rvert = 0, $$ que es incompatible con $f(x_n) \to f(x)$ y $\lvert f_n(x_n) - f(x)\rvert \gt \varepsilon$ .

Más formalmente: continuidad de $f$ asegura junto con $x_n \to x$ que hay $N$ tal que $\lvert f(x) - f(x_n)\rvert \lt \varepsilon/2$ para todos $n \geq N$ por lo que la desigualdad del triángulo nos da para todo $n \geq N$ que $$ \begin{align*} \lvert f_n(x_n) - f(x) \rvert &= \lvert [f_n(x_n) - f(x_n)] - [f(x) - f(x_n)]\rvert \\ & \geq \underbrace{\lvert f_n(x_n) - f(x_n)\rvert}_{\gt \varepsilon} - \underbrace{\lvert f(x) - f(x_n)\rvert}_{\lt \varepsilon/2} \\& \gt \varepsilon/2 \gt 0, \end{align*} $$ lo cual es absurdo a la vista de $(\ast)$ .

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Observaciones:

1. El modo de convergencia $f_n(x_n) \to f(x)$ para todos $x_n \to x$ se llama convergencia continua . Continuidad de la $f_n$ nunca se utiliza en el argumento anterior. De hecho, $f_n(x_n) \to f(x)$ para todos $x_n \to x$ garantiza la continuidad de $f$ independientemente de la continuidad del $f_n$ (ejercicio).

2. Puede encontrar una generalización del resultado anterior y una discusión más detallada en la sección Convergencia compacta y continua (Capítulo 3, §1, sección 5) a partir de página 98 en la obra de R. Remmert Teoría de las funciones complejas . El resultado exacto es que $f_n$ converge a $f$ continuamente si y sólo si $f$ es continua y $f_n \to f$ uniformemente en conjuntos compactos. Más detalles en loc. cit. (no se pierda las notas históricas que preceden y siguen a esta sección).

Answer 2

Existe un teorema clásico de Dini que dice que esto es posible cuando $f_{i}$ son monótonamente crecientes.

Ahora asumimos $f_{n}$ converge a $f$ en el sentido de la palabra y $f,f_{n}$ son todos continuos pero el límite no es uniforme. Por lo tanto, hay algún $\epsilon$ tal que $\forall N$ hay algo de $n\ge N$ tal que $$|f_{n}(x)-f(x)|> \epsilon$$ para algunos $x\in [0,1]$ .

Ahora bien, como $f_{i},f$ son uniformemente continuas en $[0,1]$ , para $\epsilon_{1}=\frac{\epsilon}{3}$ tenemos una lista de $\delta_{i}$ s tal que $0< \delta_{i}\le 1$ y $|f_{i}(x)-f_{i}(y)|\le \epsilon_{1}$ para $|x-y|\le \delta_{i}$ . Considere el intervalo $U_{i}=[0,\delta_{i}]$ , reclamo $\lim_{i\rightarrow \infty} \bigcap U_{i}\not=\emptyset$ . Supongamos que $\cap_{i=N} U_{i}=\emptyset$ entonces $f_{i}$ tendría una variación no trivial $$\lim_{x \rightarrow y} |f(x)-f(y)|=0$$ un hecho que contradice que están siendo continuos. Así pues, dejemos que $U=[0,\delta_{A}]$ sea la intersección, y que $\delta_{B}$ sea el valor correspondiente a $f$ . Elegimos $\delta=\min[\delta_{A},\delta_{B}]$ .

Ahora asumimos el contraejemplo del principio. Para un $y$ tal que $|x-y|\le \delta$ podemos elegir $N$ lo suficientemente grande como para que $$|f(y)-f_{n}(y)|\le \epsilon/3$$ para cualquier $n\ge N$ . Si resulta $N$ es mayor que la inicial $n$ elegimos, podemos cambiar a un $n$ garantizada su existencia por la hipótesis.

Tenemos la estimación de que $$|f_{n}(x)-f(x)|\le |f_{n}(x)-f_{n}(y)|+|f_{n}(y)-f(y)|+|f_{n}(y)-f_{n}(x)\le \epsilon$$ lo que contradice la hipótesis que teníamos antes. Así que la convergencia es uniforme después de todo.