Calcular la suma de los coeficientes de $(5+2x)^{70}$

Question

Cuál es la suma de los coeficientes de este polinomio:

$$(5+2x)^{70}$$

¿Hay alguna fórmula específica para calcular esto?

Answer 1

Sí, la suma de los coeficientes del polinomio $p(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$ es $p(1)=\sum_{k=0}^na_k$. Así, la respuesta en tu caso es $(5+2\cdot 1)^{70}=7^{70}$.

Answer 2

Cada polinomio $p(x)=\alpha x^n+\beta x^{n-1}+\cdots+ (\text{costant})$, $p(1)$ será la suma de los coeficientes (porque $\alpha1^{n}=\alpha$ para cada natural $n$ y así $p(1)=\alpha+\beta+\cdots +(\text{constant})$) y $p(0)$ therm constante (porque $\alpha0^n=0$ para cada natural $n$ y así $p(0)=0+0+\cdots+0+(\text{constant})=\text{constant}$).

Answer 3

$(5+2x)^{70} = (2x+1)^{70}$, evaluado en $x = 2$. La suma de la coeificients de la % polinomio $P(x)$es el término constante de $P(x+1)$.

De hecho, la respuesta a tu pregunta original es $(2*1+5)^{70} = 7^{70}$.