¿Es posible, en "teoría intuitiva de conjuntos" para tener un conjunto cuyos elementos son subconjuntos del conjunto?

Question

Tenga en cuenta que esta no es la tarea. No he visto el interior de un salón de clases en décadas.

Me decidí a cepillar para arriba en la teoría de conjuntos y la lógica y la encontré con este: Ejercicio 1-3.7.

Dé varios ejemplos de un conjunto $\mathcal{X}$ de manera tal que cada elemento de $\mathcal{X}$ es un subconjunto de a $\mathcal{X}$.

Stoll, Robert R.. la Teoría de conjuntos y la Lógica (Dover Libros sobre Matemáticas) (Kindle Lugares 482-483). Publicaciones De Dover. Kindle Edition.

Esto es a partir del capítulo introductorio sobre intuitiva de la teoría de conjuntos. Términos tales como predicado y símbolos como $\implies$ y $\iff$ no han sido introducidas. Ni tiene lógica formal.

Así que esta es mi evaluación de la situación:

Un conjunto es una colección de todas las entidades que cumplan algunos de predicado $P$. Que es $\mathcal{X}=\left\{ x\vert P\left[x\right]\right\} $ es un conjunto si $P\left[x\right]$ siempre es, o bien verdadera o bien falsa.

La declaración de $\mathcal{Y}$ es un subconjunto de a $\mathcal{X}$ puede ser escrito simbólicamente como$\mathcal{Y}\subseteq\mathcal{X}\iff y\in\mathcal{Y}\implies y\in\mathcal{X}$.

Aquí está un ejemplo de un conjunto cuyos elementos no son subconjuntos de la conjunto.

$\mathcal{A}=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} $. Los subconjuntos de a $\mathcal{A}$ son $\emptyset$,$\mathcal{A}$, $\left\{ a_{1}\right\} $ y $\left\{ a_{2}\right\} $, por lo $a_{1}$ $a_{2}$ no son subconjuntos de a $\mathcal{A}$.

Puedo escribir la expresión de la $\mathcal{S}=\left\{ x\vert x\subseteq\mathcal{S}\right\} $, y la demanda cumple con los criterios. Pero, si he de enumerar los elementos $\mathcal{S}=\left\{ x_{1},x_{2},\dots\right\} $, los subconjuntos podría se entenderá $\mathscr{P}\left[\mathcal{S}\right]=\left\{ \emptyset,\mathcal{S},\left\{ x_{1}\right\} ,\left\{ x_{2}\right\} ,\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,\dots\right\} $. Pero, ya que se basa en que $x_{i}\subseteq\mathcal{S}$, tal vez $\mathscr{P}\left[\mathcal{S}\right]=\left\{ \emptyset,\mathcal{S},x_{1},x_{2},\dots,\left\{ x_{1}\right\} ,\left\{ x_{2}\right\} ,\left\{ x_{1},x_{2}\right\} ,\dots\right\} $.

Suponga $\mathcal{S}$ tiene un número finito de elementos, digamos dos, para la simplicidad. A continuación,$\mathscr{P}\left[\mathcal{S}\right]=\left\{ \emptyset,\mathcal{S},x_{1},x_{2},\left\{ x_{1}\right\} ,\left\{ x_{2}\right\} \right\} $, así que el juego de poder de $\mathcal{S}$ $6$ elementos. Pero el juego de poder de un conjunto de dos elementos debe de tener $4$ elementos.

Que me indica que cualquier conjunto de satisfacer los criterios del ejercicio tendría que ser infinito.

Incluso si considero conjuntos infinitos, todavía no estoy cómodo con la inclusión de los elementos de los subconjuntos.

Esta es una pregunta con trampa? O hay alguna forma de evitar este aparente contradicción?

Answer 1

Esto no es una pregunta con trampa; hay varios ejemplos de este tipo de series, tanto finito y lo infinito, y se llaman transitivos conjuntos. En primer lugar, el más simple de los ejemplos es $\varnothing$, cada elemento de la $\varnothing$ es un subconjunto de a $\varnothing$, vacuously. Así que, la próxima, vamos a considerar el conjunto de $1$, lo que voy a definir como $1 = \{\varnothing\}$. Este conjunto tiene un elemento, $\varnothing$, e $\varnothing$ es trivialmente un subconjunto de a $1$, lo $1$ es también transitivo. A continuación, defina $2 = \{\varnothing, 1\} = 2 = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$. Es otro cálculo rápido que este conjunto es transitiva. Del mismo modo, $3 = \{\varnothing, 1, 2\}$ es transitiva, como es $4 = \{\varnothing, 1, 2, 3\}$, $n = \{\varnothing, 1, 2, \dots, n - 1\}$. La primera infinita ejemplo que voy a dar es $\omega = \{\varnothing, 1, 2, \dots, n, n + 1, \dots \}$. Lo he esencialmente hecho aquí es construir los primeros ordinales los números.