¿Cuántas vacas hay?

Question

En un campo, la hierba aumenta a un ritmo constante. $17$ las vacas pueden comer toda la hierba del campo en $30$ días. $19$ las vacas pueden comer toda la hierba en $24$ días. Supongamos que un grupo de vacas empieza a comer hierba durante $6$ días. Entonces $4$ las vacas se venden. Las vacas restantes tomaron $2$ más días para comer la hierba restante. ¿Cuál es el número de vacas del grupo?

Mi intento:

Una vaca come cierta cantidad de hierba en un día, llámese $c$ . El campo crece una cierta cantidad cada día, llámese $g$ .

El campo tiene una cantidad inicial de césped: $i$

\begin {Ecuación} \begin {alineado} i + 30g - 17 \cdot30c &= 0 \\ i+24g-19 \cdot24c &=0 \end {alineado} \end {Ecuación}

Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos , $g = 9c$ . Eso significa que se necesitan 9 vacas para comer un día de crecimiento en un día.

Answer 1

Primero voy a configurar algunas variables.

Número de vacas: $C$

Cantidad de hierba en el día $n$ : $G_n$

La tasa de crecimiento de la hierba: $x$ por día

La tasa de consumo de hierba: $y$ por día

Así que tenemos $$G_{n+1}=G_n+x-Cy$$ que dan $$G_n=G_0+nx-nCy$$

Las dos primeras ecuaciones pueden convertirse fácilmente en $$G_{30}=0=G_0+30x-30\cdot17\cdot y\tag{1}$$ $$G_{24}=0=G_0+24x-24\cdot19\cdot y\tag{2}$$

Esto da $$x=9y\tag{*}$$

Para la última, la relación de recurrencia ya no se mantiene pero la idea es la misma, por lo que tenemos $$0=G_0+(6+2)x-6Cy-2(C-4)y$$ que se simplifica a $$0=G_0+8x-(8C-8)y\tag{3}$$

El resto es trabajo algebraico. Utilizando $(1)$ y $(*)$ , obtendrá $C=40$ .

Answer 2

$$\begin{aligned} V+30x&=30\times 17\times y\\ V+24x&=24\times 19\times y\\ V+8x&=6\times k\times y+2(k-4)\times y\\ V&=510y-30x\\ x&=9y\\ 510y-22x&=(8k-8)y\\ 510y-198y&=(8k-8)y\\ k&=40 \end{aligned}$$ donde $V$ - valor del césped en el campo, $x$ - velocidad de crecimiento de la hierba durante un día, $y$ - velocidad de 1 vaca por día, $k$ - número de vacas.

Answer 3

Dejemos que

$i $ sea la cantidad inicial de hierba en el campo,

$a$ sea la tasa constante de crecimiento de la hierba,

$b$ sea la tasa de consumo de 1 vaca durante un día,

y $x $ sea el número de vacas en la situación planteada

Dada,

$$i+30a-17(30)b = 0 \tag1$$ $$i+24a-24(19)b = 0\tag2$$

Restando $(1)$ y $(2)$ ,

obtenemos

$$6a - 510b + 456b = 0$$

$$\Rightarrow 6a = 54b $$

o, $$a = 9b \tag3 $$

Poniendo esto en $(1)$ ,

$$i+30a-17(30)b = 0 \tag1$$

$$ \Rightarrow i+30(9b)-17(30)b = 0$$

Así que,

$$i+270b-510b = 0$$

o

$$i = 240b \tag4$$

En la situación dada,

$$i + 8a - 6xb = i_{2} \tag5$$

donde $i_{2}$ es la cantidad de hierba que queda antes de vender

Ahora tenemos $(x-4)$ vacas a la izquierda.

$$ i_{2} + 2a - 2(x-4)b = 0 \tag6$$

Combinando $(5)$ y $(6)$ para eliminar $i_{2}$ ,

$$i + 8a - 6xb + 2a - 2(x-4)b = 0$$

Ahora utilizando las relaciones $(3)$ y $(4)$ nos encontramos con que,

$$(240b) + 8(9b) - 6xb + 2(9b) - 2(x-4)b = 0$$

Dividiendo ambos lados por $b$ Ahora obtenemos

$$240 + 54 - 6x + 18 - 2(x-4) = 0$$

$$\Rightarrow 312 - 6x - 2x + 8 = 0$$

$$\Rightarrow 320 = 8x $$

así que $x = 40$ o el inicialmente había 40 vacas.