La diferencia de dos compuestos de coprimos

Question

Supongo que esto es una tarea sencilla para los que conocéis algunos teoría del número:

Cualquier número natural es la diferencia entre dos compuestos de coprimos.

Probado hasta 1000.

Desarrollo de algunas herramientas informáticas para investigar sistemas y ahora y después encontrar algunos patrones o conexiones que me hace formulan una conjetura, que en mi mente es solo una palabra para una declaración no probada.

Answer 1

Si $n$ es un entero positivo, a continuación, $(2n + 1)! + n + 1$ $(2n + 1)! + 2n + 1$ son coprime y compuesto.

ElieLuis de un comentario:

Claramente el primer número es divisible por $n+1$ y el segundo es divisible por $2n+1$. También, suponiendo que cualquier número (diferente de $1$) divide ambos de ellos, también debe dividir $n$ cual es su diferencia. Pero si se divide $n$, entonces no se puede dividir $(2n+1)!+n+1$, ya que tanto $(2n+1)!$ $n$ son divisibles por nuestro divisor.

(Añadido por Lehs que desea que él podría hacer tal pensamiento claro y producir un mejor contexto a sus preguntas).

Answer 2

Yo no tengo formación en teoría de números, pero aquí están mis pensamientos sobre este problema.

Tomemos $n$ a este número natural. Considerar la secuencia de $p(k) = nk + (n-1)$. Ahora, este es un polinomio en a $k$, por lo que no se puede generar un número infinito de números primos en una fila. Así que debe haber un $K$ tal que $p(K)$ no es un número primo. Está claro que $p(K)$ $p(K+1)$ son coprimes, por si un número divide a ambos, entonces debe dividir su diferencia, que es $n$. Pero esto lleva a una contradicción ya que el $p(k) = n(k+1)-1$.

Ahora, la única parte restante para encontrar un $K$ tal que $p(K+1)$ no es primo.

Mi idea aquí es tomar $K=a(n-1)$. Podemos ver claramente que $p(K)$ es divisible por $n-1$. Lo que quiero ahora es elegir a $a$ tal que $p(K+1)$ es compuesto. Pero aviso que $p(K+1) = a(n-1)n + 2n-1$. Así que tome $a=2n-1$. Entonces tenemos: $$(n-1)(2n-1)n + n-1$$ y $$(n-1)(2n-1)n + 2n-1$$ Ambos compuesto de números y distante $n$.

Answer 3

Supongamos $p$ es un prime que está a menos de $n$ y no un factor de $n$ y supongamos $n\equiv m \bmod p$.

Si ahora seleccionamos impares primos $q, r$ que no son factores de $n$$q\equiv 1 \bmod p$$r\equiv p-m \bmod p$, entonces tenemos $$n=(n+qr)-qr$$The first summand is divisible by $p\lt$ n por la construcción, y por lo tanto es compuesto.

No son sólo los casos $n=1, 2$ que no se ajustan a la hipótesis de que existe un primer $p\lt n$ y coprime a $n$ (considerar los factores de $n-1$ para confirmar esto). Estos casos son fácilmente eliminados por $1=9-8, 2=27-25$.

La existencia de la necesaria primos $q,r$ está garantizada por la del Teorema de Dirichlet sobre primos en progresión aritmética. (El caso especial donde podemos tomar el $p=2$ es fácil). Si un fuerte teorema es una parte necesaria de la prueba, no sé.