¿Por qué no es generalmente correcta en lógica de primer orden $\alpha \rightarrow \forall x(\alpha)$?

Question

¿Por qué no es generalmente correcta en lógica de primer orden $\alpha \rightarrow \forall x(\alpha)$?

es decir, cuando hay libres ocurrencias de $x$ $\alpha$ y en el mismo punto, ¿por qué es el esquema de fórmula correcta cuando no hay ninguna ocurrencias libres de $x$ $\alpha$?

Answer 1

Acerca de la regla :

si $\Gamma \vdash \varphi$, $\Gamma \vdash \forall x \varphi$ que $x$ no se encuentra libre en cualquier supuesto en el $\Gamma$,

considere el siguiente ejemplo :

deje $\varphi$ $x = 0$ donde $0$ es un individuo constante, y $\Gamma = \{ \varphi \}$. Luego, a partir de $\varphi$ podemos construir la siguiente derivación :

$ x = 0$ (asunción)

$\forall x (x = 0)$ (ilegal : $x$ es gratis en la asunción).

La última afirmación es falsa en cualquier estructura con al menos dos elementos. [Ver también Stephen Cole Kleene, la Lógica Matemática (1967), página 119].

Si tenemos $\Gamma = \emptyset$ podemos derivar la siguiente regla :

si $\vdash \varphi$,$\vdash \forall x \varphi$,

pero en este caso $\varphi$ es, ni más de una suposición : debe ser un teorema.

Con el fin de mostrar que la fórmula $\varphi \rightarrow \forall x \varphi$ no es en general correcta, considere el siguiente ejemplo :

$\varphi$ $P(x)$

y tomar como el dominio de la interpretación del conjunto $\mathbb Z$ de los enteros, y dejar que la interpretación del predicado $P$ " $x$ es mayor que $0$".

La fórmula :

$P(x) \rightarrow \forall x P(x)$

no es válido, porque en $\mathbb Z$ no todos los números son mayores que las de $0$.

Queremos que nuestro cálculo es el sonido, es decir, que nos permite demostrar únicamente válido fórmulas, donde medio válido en cada interpretación. La fórmula anterior no es cierto en la mencionada interpretación, por lo que no es válido.

En consecuencia, nosotros no queremos que en nuestro cálculo, y debemos establecer las normas que en consecuencia, por lo que no debe ser derivable.

Answer 2

Una buena pregunta. La diferencia entre la implicación y la regla de inferencia es clara en la lógica formal. Sin embargo confusiones en la vida cotidiana de razonamiento no son raros debido a que ambas construcciones son generalmente pronunciado como "si... entonces". Es por eso que no es fácil explicar a los alumnos la diferencia entre ellos, pero un par de ejemplo puede ser útil. Cuando se demuestra un teorema de geometría, es una manera común para "tomar" un hormigón triángulo, dice ABC. Después de investigar algunas de sus propiedades se formula el teorema: "Para todos los triángulos.." sin Embargo no sería una analogía correcta para "tomar" un hombre concreto, dice Mack el Cuchillo, y sobre la base de su vida a la conclusión de que "Todos los hombres son mortales". Creo que estos avisos de ayudar a la comprensión de los principios lógicos y su enseñanza.