¿Es mi prueba mostrando "$ab$ y $ba$ % invertible $\Rightarrow a$y $b$ invertible" correcto?

Question

$A$ es un anillo, $a,b\in A$. ¿Cómo mostrar que $ab$ y $ba$ % invertible $\Rightarrow a$y $b$ invertible?

Esto es como lo hice:

Que $x$ sea el inverso del $ab$% y dejó $y$ser el inverso del $ba$. Por lo tanto $x(ab)=(xa)b=I$ y $(ba)y=b(ay)=I$. Y ahora $(xa)b=I=b(ay)$ implica que el $b$ es invertible. Puedo mostrar analógicamente que $a$ es invertible.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Para completar la prueba (que $b$ es inversible), todo lo que necesita decir es que, desde $xab=bay=1$, entonces

$$xa=(xa)(bay)=(xab)ay=ay$$

(con un argumento similar para $a$).