¿Hay información útil sobre modos normales y frecuencias en la matriz hamiltoniana de un sistema acoplado?

Question

El modo individual

Supongamos que tengo dos $LC$ osciladores, uno con $L_1$$C_1$, y el otro con $L_2$$C_2$. Si desacoplado, cada oscilador tiene la frecuencia de resonancia $\omega \equiv 1/\sqrt{LC}$. Utilizando el flujo en el inductor como el de coordenadas, la ecuación de movimiento para cada oscilador es

$$\ddot{\Phi} = -\omega^2 \Phi .$$

Podemos reescribir esta en forma Hamiltoniana como este

$$ \frac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} \Phi \\ Q \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1/C \\ -1/L & 0\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \Phi \\ Q \end{array} \right]. $$

Podemos limpiar esto mediante la definición de $X \equiv (C/L)^{1/4} \Phi$$Y \equiv (L/C)^{1/4} Q$, lo que conduce a

$$ \frac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right] = \omega^2 \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right]. $$

Junto modos

Ahora supongamos que los osciladores están acoplados a través de un inductor $L_g$. El sistema acoplado de ecuaciones de movimiento son

$$ \left[ \begin{array}{c} \ddot{\Phi}_1 \\ \ddot{\Phi}_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -\omega_1^2(1+L_1/L_g) & \omega_1^2(L_1/L_g) \\ \omega_2^2 (L_2/L_g) & -\omega_2^2(1+L_2/L_g) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \Phi_1 \\ \Phi_2 \end{array} \right] $$

Tenga en cuenta que el acoplamiento débil límite es que donde $L_g \gg L_1,L_2$. A partir de aquí, uno puede encontrar la normal de frecuencias de los medios habituales de encontrar los autovalores de una matriz.

También se puede trabajar con el Hamiltoniano de la forma:

$$ \frac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} X_1 \\ Y_1 \\ X_2 \\ Y_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & \omega_1 & 0 & 0 \\ -\omega_1' & 0 & -g & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \omega_2 \\ -g & 0 & -\omega_2' & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} X_1 \\ Y_1 \\ X_2 \\ Y_2 \end{array} \right] $$

donde $\omega_1' \equiv \omega_1 (1-L_1/L_g)$, $\omega_2' \equiv \omega_2 (1-L_2/L_g)$, y $g\equiv (\sqrt{L_1 L_2}/L_g)\sqrt{\omega_1 \omega_2}$.

Hay alguna ventaja en términos de intuición para la física o la matemática elegancia y simplicidad para extraer información de la Hamiltoniana de la matriz como opuesta a la que llegó desde el 2$^{\text{nd}}$ fin de ecuaciones?

Answer 1

Supongo que esta pregunta puede generar un muy amplio espectro de respuestas, voy a intentar tomar en la (simple) de lado matemático de tratar con un sistema de primer orden a la educación a distancia en lugar de un orden superior a uno. En este sentido (como en muchos otros!) el Hamiltoniano de la formulación de un problema dinámico, como el que usted ha planteado como un ejemplo, se da de una manera más fácil un montón de información que el Lagrangiano o Newtoniano (como $F=ma$) no.

La razón por la que voy a dar a primera vista parecerá como puramente matemático, pero como resulta que da clara conocimientos físicos que la otra formulación no dan. Voy a indicar como la n-ésima derivada de la función $x(t)$ el símbolo $x^{(n)}$, Dada una ODA escrita en forma normal $$\tag 1 x^{(n)}=\mathcal{F}\left(t,x'...x^{(n-1)}\right) \\ \mathcal F:A\subseteq \mathbb R\times \mathbb R^n\longrightarrow \mathbb R^n$$ si definimos las variables $x_{k}=x^{(k)}$ $x=x_1,\ x'=x_2 ,\ x''=x_3,\ ecc \ $ de que siempre se puede escribir en la forma: \begin{align} \tag 2 x &= x_1 \\ x_1' &= x_2 \\ x_2' &= x_3\\ &\ldots \\ x_n' &= \mathcal F(t, x_1,x_2,...., x_n) \end{align} Ahora, desde problemas dinámicos son de la forma $$\tag 3 m \ x''(t)=\mathcal F(t,x,x')$$ el problema puede ser roto en un sistema de dos de primer orden ecuaciones diferenciales: $$\etiqueta 4 \begin{cases}x'_1=x_2 \\ m \ x'_2=\mathcal F(t, x_1, x_2) \end{casos}$$

Ok, vamos a definir la curva diferenciable ${x}(t)\in C'(I\subset \mathbb R,\mathbb R^n)$ y la matriz $\mathrm A \in GL(\mathbb R^n)$ de manera tal que podemos escribir el problema de cauchy $$ \tag 5 \begin{cases} x'(t)=\mathrm A \cdot x(t)\\ x(t_0)=\xi_0 \end{cases}$$ cortocircuito largo de la historia se puede escribir la solución como $$\tag 6 x(t)=e^{\mathrm A(t-t_0)}\cdot\xi_0$$ (No es una simple teoría sobre cómo usted puede diagonalize y escribir las matrices $\mathrm A$ $e^{\mathrm A t}$ dependiendo de la naturaleza de sus autovalores) una Vez que se conocen los valores propios de a $\mathrm A$ puede determinar el comportamiento asintótico del sistema: como es la estabilidad, si la solución es limitada y en algunos casos, incluso, la presencia de atractores sólo por el conocimiento de los valores propios de a $\mathrm A$. (el Hamiltoniano de la matriz que mencionas)

La formulación Hamiltoniana de la mecánica es la forma más natural de escribir la ley de Newton, un segundo orden de la ecuación diferencial, en un sistema de dos de primer orden ecuaciones. Por tanto, para la teoría linealizada e incluso para el caso de $x'(t)=\mathrm A\cdot x(t)+g(t,x)$ donde $g(t,x)$ es "pequeño" respecto a $x(t)$ (y en los distintos supuestos, para más general y el más complicado de los casos también!). Usted puede escribir la solución como $$\tag 7 x(t)=e^{\mathrm A(t-t_0)}\cdot\xi_0+\int_{t_0}^t e^{\mathrm A(t-s)}\cdot g(s,x(s)) \ ds$$ y extraer gran cantidad de información a partir de la matriz de $\mathrm A$ autovalores, como ya he subrayado.

La moral de la historia es que, en la mecánica, el marco natural para llevar a cabo estas muy rápido análisis (y más sofisticados también!) sobre la naturaleza de las soluciones es la formulación Hamiltoniana.

Por ejemplo:

Cuando se escribe la matriz de $$\tag 8 \Phi''=-\omega^2 \Phi$$ y obtener $$\etiqueta 9 \frac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right] = \omega^2 \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right]. $$ es fácil calcular los valores propios que son imaginarios puros $\lambda_{\pm}=\pm i \omega$ la teoría dice de inmediato que las soluciones están limitadas por $t \rightarrow \infty$ y ahora (saber un cuple de teoremas) se puede escribir sólo por el conocimiento de los valores propios: \begin{align} \tag {10} \mathcal U(t) & \equiv e^{\mathrm A t} = \left[ \begin{array}{cc} \cos(\omega t) & \sin(\omega t) \\ -\sin(\omega t) & \cos(\omega t)\end{array} \right] \\ S(t) &\equiv \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right](t)= \mathcal U(t) \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right](0) \end{align} así $$\tag{11}||S(t)||=\sqrt{X^2(0)+Y^2(0)} = \text{constant}$$ es decir, las soluciones son órbitas circulares! En menos trivial ejemplos de los tipos de análisis que realmente le ahorra un montón de tiempo en mi experiencia personal.