Mostrar que $f :X \to Y$ es inyectiva iff $f^{-1}f(A))=A$ para todos los subconjuntos de a$A$$X$. Ahora me escribió una prueba de este teorema y mi pregunta es, en primer lugar, ¿es correcto? En segundo lugar, ya que esta es mi primera experiencia en la escritura de tales pruebas, es claro y conciso suficiente? Se siente muy claro para mí. Por lo que cualquier consejo y ayuda sería apreciada. Aquí está mi prueba:
Primero asumimos que $f$ es inyectiva, es decir, $f(x_1)=f(x_2)$ implica que el $x_1=x_2$. Ahora Esto significa que $\forall y\in f(A) \exists\text{ a unique } x\in X | f(x)=y$. Para cada elemento en $x\in X$ por lo tanto tenemos a $f^{-1} f(x) = x$. Así pues, tenemos para todos los subconjuntos de a $A$ $X$ que $f^{-1}f(A))=A$. Podemos ver los resultados de esto no es cierto cuando se $f$ no es inyectiva, o cuando cada elemento de a $y$ $f(A)$ no tiene inversa. En este caso, $f^{-1}(y)$ no está definido.
Para mostrar la dirección opuesta suponemos que $f^{-1}f(A))=A$ para todos los subconjuntos de a $X$. A continuación, en particular para todos los singleton conjuntos de $A=\{x \}$ tenemos $f^{-1}f(x))=x$. Ahora, cuando $f(x_1)=f(x_2)$ podemos aplicar la inversa de la asignación a cada lado para obtener el $f^{-1}f(x_1))=f^{-1}f(x_2))$. Por la hipótesis de que esto se reduce a $x_1=x_2$) y hemos demostrado que $f$ es inyectiva.
Una vez más, si alguien me pudiera ayudar a identificar los errores, inconsistencias o errores estilísticos que yo estaría feliz de escuchar! Gracias de antemano.
