En golpear tiempo de movimiento browniano y Ito ' lema s

Question

Tengo dos posibles preguntas relacionadas. Deje $\tau:=\min\{t\geq0:B_t=1\}$ donde $B_t$ es un estándar de movimiento Browniano.

1. Estoy suponía que se derivan del hecho de que $\mathbf{E}\tau=\infty$ mediante la aplicación de algunas de las propiedades de las integrales estocásticas a $\int^{\infty}_0\mathbf{1}_{[0,\tau]}(t)dB_t$. He intentado hacer esto: $$\mathbf{E}\tau=\mathbf{E}\int^{\tau}_0dt=\mathbf{E}\int^{\infty}_0\mathbf{1}_{[0,\tau]}(t)dt=\mathbf{E}\left(\int^{\infty}_0\mathbf{1}_{[0,\tau]}(t)dB_t\right)^2$$ Y yo estoy atrapado (ni siquiera sé si va en el camino correcto).

2. Es el lema de Ito falsos con los tiempos de parada de alta los límites de las integrales? Por ejemplo, es $\int^{\tau}_0dB_t=B_{\tau}$ falso? ¿Cómo puedo ver eso?

EDIT: UNA discusión sobre las posibles pruebas de $\mathbf{E}\tau=\infty$ se presenta en las respuestas aquí. Sólo estoy curioso acerca de la sugerencia particular.

Y el estocástico integral con un golpeando el tiempo como un límite superior se define como sigue $$\int^{\tau}_0dB_t:=\int^\infty_0\mathbf{1}_{[0,\tau]}(t)dB_t:=L^2-\lim_{N\to\infty}\int^N_0\mathbf{1}_{[0,\tau]}(t)dB_t$$ Entonces supongo que la pregunta 2. sería el equivalente a preguntar si Ito lema es cierto para las integrales con infinito límite superior.

Answer 1

Aquí es una solución de (1). No estoy seguro si es estrictamente cae bajo los requerimientos del problema, pero no uso nada demasiado lujoso.

Deje $\tau_r$ ser la primera vez que el movimiento Browniano golpea $1$ o $-r$$f(x)=x^2$. Desde el generador infinitesimal de movimiento Browniano (restringido a las funciones lisas) es $1/2 \Delta$, tenemos por Dynkin la fórmula que

$$\mathbf{E}[f(B_{\tau_r})]=\mathbf{E}[B_{\tau_r}^2]=f(0)+\mathbf{E}\left[ \int_0^{\tau_r} 1 ds \right]=\mathbf{E}[\tau_r] .$$

Utilizando el Jugador de la ruina de la estimación, hemos $$\mathbf{E}[B_{\tau_r}^2]=\frac{r^2}{r+1}+\frac{r}{r+1}.$$ Dejando $r \rightarrow \infty$, podemos ver que $\mathbf{E}[\tau_r] \rightarrow \infty$$r \rightarrow \infty$. De ello se desprende que $\mathbf{E}[\tau]=\infty$.

Answer 2

Para responder a su segunda pregunta, en primer lugar, usted debe tener cuidado para determinar exactamente cómo definir una integral estocástica con un tiempo de parada en el límite. Pero cualquier definición razonable debería resultar en $\int_0^\tau dB_t = B_\tau$.

Edit: yo la tome de la espalda. Utilizando su definición, $\int_0^\tau dB_t$ no existe cuando se $\tau = \inf\{t \ge 0 : B_t = 1\}$. Para nosotros ha $\int_0^N 1_{[0, \tau]} dB_t = B_{\tau \wedge N}$, y esto no convergen en $L^2$ $N \to \infty$ (si lo hiciera, sería también convergen en $L^1$, pero tenemos $E[B_{\tau \wedge N}]=0$ mientras $E[B_\tau] = 1$). Por supuesto, no converge casi seguramente.

Para tu pregunta principal, he aquí un argumento, posiblemente, en el espíritu de su pregunta, aunque parece muy complicado todavía.

Deje $\tau_k = \inf\{t \ge 0 : B_t = k\}$ ser el golpear el momento de la $k$. Tenga en cuenta que, $0 = \tau_0 \le \tau_1 \le \tau_2 \le \dots$ por la continuidad del movimiento Browniano, y por la recurrencia de la $\tau_k < \infty$. Deje $\sigma_k = \tau_k - \tau_{k-1}$ ser el tiempo necesario para obtener de$k-1$$k$. Por el fuerte de Markov de la propiedad y de traducción de la invariancia, el $\sigma_k$ son iid. Así tenemos a $$E[\tau_k] = E[\sigma_1 + \dots + \sigma_k] = k E[\sigma_1].\quad(1)$$

Ahora para cualquier $k,n$,$E \int_0^\infty |1_{[0, \tau_k \wedge n]}(t)|^2\,dt = E[\tau_k \wedge n] \le n < \infty$, por lo que el Itô isometría da $$E[\tau_k \wedge n] = E\left[\left(\int_0^\infty 1_{[0, \tau_k \wedge n]}(t)\,dB_t\right)^2\right] = E[B_{\tau_k \wedge n}^2]\quad(2)$$ como en su argumento. (Otra forma de obtener esta identidad es tener en cuenta que el $X_t = B_t^2 - t$ es una martingala, por lo tanto también lo es $X_{\tau_k \wedge t}$.) Por la monotonía de convergencia, $E[\tau_k \wedge n] \uparrow E[\tau_k]$$n \to \infty$. Y por Fatou del lexema, $\liminf_{n \to \infty} E[B_{\tau_k \wedge n}^2] \ge E[B_{\tau_k}^2] = k^2$. Así de paso al límite, tenemos $$E[\tau_k] \ge k^2.\quad(3)$$

La combinación de (1) y (3), vemos a $E[\sigma_1] \ge k$. Desde $k$ fue arbitraria, debemos tener $E[\sigma_1] = \infty$, lo que completa la prueba.

Nota esencial de la observación aquí es que el fuerte de Markov propiedad sugiere que $E[\tau_k]$ escala linealmente con $k$, como en (1), mientras que (2) sugiere cuadrática de escala. La única manera de salir de esta paradoja es tener $E[\tau_k] = \infty$.

Answer 3

Hola una prueba directa y analítica consiste en usar directamente la densidad de $\tau$ y calclulate $E[\tau]$. %#% de #% densidad es dada por:

$\tau$ (muchos libros dan a esto e.g. Karlin Taylor, "Un primer curso en procesos estocásticos")

De esto puede demostrar su afirmación.

De todos modos, creo que la solución dada por ShawnD es más en el espíritu de su problema y es esencialmente una aplicación del teorema de muestreo óptima de Doob de martingalas.

Saludos