¿$f$ % integrable $\Leftrightarrow f<\infty$a.s.?

Question

$f\colon\Omega\to\mathbb{R}$ medibles de la función de medir el espacio$(\Omega,\mathfrak{A},\mu)$. Estoy interesado en saber si, a continuación, $$ f\text{ es integrable }\Leftrightarrow f\text{ es finito una.s.}~~~. $$

A mis pensamientos esta equivalencia es falso en general.

Prueba:

"$\Rightarrow$": $f$ integrable, es decir,$\int_{\Omega}\lvert f\rvert\, d\mu<\infty$. $N:=\left\{f=\infty\right\}$, a continuación,$\Omega=N\uplus N^C$. $$ \infty >\int_{\Omega}\lvert f\rvert\, d\mu=\underbrace{\int_N\lvert f\rvert\, d\mu}_{=\infty\cdot\mu(N)}+\underbrace{\int_{N^C}\lvert f\rvert\, d\mu}_{\[0,\infty)}\Rightarrow \mu(N)=0 $$

A mi opinión "$\Leftarrow$" no es cierto en general, porque por $\mu(N)=0$ solo, no se sigue que la integral de la $\int_{N^C}\lvert f\rvert\, d\mu$ es finito y por lo $\int_{\Omega}\lvert f\rvert\, d\mu$ en general, no es finito.

---

Tan sólo: $f$ integrable$\implies f$ finito de una.s.

Answer 1

Si $a_1,a_2,a_3,\ldots\in(0,\infty)$ y $a_1+a_2+a_3+\cdots=\infty$ y $\displaystyle\int_{(0,\infty)} a_{\lfloor x\rfloor} \, dx = \infty$.