Si $C$ es un componente de $Y$ y un componente de $Z$ ¿es un componente de $Y\cup Z$ ?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, $Y$ y $Z$ subespacios de $X$ . Dejemos que $C$ sea un subconjunto conexo de $Y\cap Z$ tal que $C$ es un componente de $Y$ y un componente de $Z$ . ¿Se deduce que $C$ es un componente de $Y\cup Z$ ?

Intuitivamente, diría que sí, pero no sé cómo demostrarlo.

En caso de que sean necesarias más suposiciones, se puede llegar hasta: $X$ es un espacio métrico compacto, $Y$ está abierto, $Z$ (y por lo tanto $C$ ) está cerrado, y $C=Y\cap Z$ .

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

En general, no. Dejemos que $X=[0,1]$ , $Y=\mathbb{Q}\cap[0,1]$ , $Z=([0,1]\setminus\mathbb{Q})\cup\{0\}$ y $C=\{0\}$ .

Answer 2

No tengo una respuesta definitiva, pero aquí hay un contraejemplo que parece tener todo menos la compacidad de X.

En el cuadrado unitario tome el subespacio $$ X = \bigcup \{ \, [ (1/n, 0), (0, 1) ] \mid n \in {\mathbb N} \, \} \cup \{ (0, 0) \}, $$ donde $[ \cdot, \cdot ]$ denota un segmento de línea. Como $X \setminus \{ (0, 0) \}$ está conectada por un camino y es densa, $X$ está conectado.

Sin embargo, si tomamos el subconjunto abierto $Y = X \setminus \{ (0, 1) \}$ y el subconjunto cerrado $Z = \{ (0, 0), (0, 1) \}$ encontramos que $C = Y \cap Z = \{ (0, 0) \}$ es un componente de ambos. Para $Z$ esto es obvio. Para $Y$ Obsérvese que cualquier subconjunto que contenga $(0, 0)$ y algún otro punto pueden estar separados a lo largo de un segmento $[ (0, 1), (\frac{2}{2n+1}, 0) ]$ .

Otras características destacadas de este espacio son:

• $X$ es localmente compacto, excepto en $(0, 0)$ y $(0, 1)$
• $Z$ es compacto, como tendría que serlo si $X$ eran compactas
• Z es localmente conectado
• Y está localmente conectada, excepto en $(0, 0)$

Las formas más obvias de compactar este contraejemplo fallan. Simplemente tomando el cierre en el cuadrado unitario produce un espacio donde $C$ ya no es un componente de $X$ . Desde $X$ no es localmente compacto, la compactación de un punto no es Hausdorff. Podría funcionar como contraejemplo para compactos $T_1$ espacios pero no lo he comprobado.

Answer 3

Creo que ahora puedo dar un resultado positivo, utilizando algunas de las suposiciones ( $X$ Hausdorff compacto, $Y$ abierto, $Z$ cerrado). Será conveniente utilizar lo siguiente:

Lema

Dejemos que $X$ sea un espacio de Hausdorff y $C \subset X$ tienen una vecindad compacta barrio $K$ . Entonces $C$ es un componente de $X$ si y sólo si $C$ es un componente de $K$

Prueba de "sólo si":

Si $C$ no es un componente de $K$ entonces $C$ no es conexo, o hay es un subconjunto conexo de $K$ que es un superconjunto propio de $C$ . De cualquier manera, $C$ no es un componente de $X$ .

Prueba de "si":

Supongamos que $C$ es un componente de $K$ y que $B$ sea el límite de $K$ en $X$ . Claramente $C$ es conexo, por lo que tenemos que demostrar que ningún superconjunto adecuado de $C$ está conectado.

Consideremos $K$ como subespacio. Dado que $K$ es un espacio compacto de Hausdorff compacto, $C$ es un cuasicomponente. (para una prueba ver esta respuesta ) Porque $C \cap B = \emptyset$ Esto significa que para cada $b \in B$ hay un barrio cerrado $U_b$ disjunta de $C$ . Estos barrios forman una cubierta de $B$ que por compacidad tiene una subcubierta finita. Sea $U$ sea la unión de esta subcubierta. Al ser una unión finita de conjuntos cerrados, $U$ es clopen y también su complemento.

Porque ninguno de los $U_b$ intersección $C$ y porque $B \subset U$ tenemos $C \subset K \setminus U \subset K \setminus B \subset K$ . Desde $K$ está cerrado en $X$ y $K \setminus B$ está abierto en $X$ , $K \setminus U$ está cerrado en $X$ también. Podemos concluir que cualquier superconjunto conectado de $C$ debe ser un subconjunto de $K \setminus U$ por lo que es un subconjunto de $K$ por lo tanto, por suposición igual a $C$ .

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Sin demasiados problemas, ahora podemos probar:

Dejemos que $X$ sea un espacio compacto de Hausdorff, $Y$ un subespacio abierto y $Z$ un subespacio subespacio cerrado. Sea $C$ sea un subconjunto conexo de $Y \cap Z$ tal que $C$ es un componente de $Y$ y un componente de $Z$ . Entonces $C$ es un componente de $Y\cup Z$ .

Prueba:

$C$ es un componente de, por tanto, cerrado en $Z$ que está cerrado en $X$ , así que $C$ está cerrado en $X$ . $Y$ está abierto en $X$ Así que $X \setminus Y$ está cerrado en $X$ .

$X$ es normal, por lo que $C$ y $X \setminus Y$ tienen vecindades disjuntas $U$ y $V$ . Si tomamos $K = \operatorname{Cl} U$ entonces $$ C \subset U \subset K \subset X \setminus V \subset Y \subset Y \cup Z $$ y $K$ es compacto.

Partiendo del hecho de que $C$ es un componente de $Y$ Ahora aplicamos el lema de una manera para encontrar que $C$ es un componente de $K$ entonces la otra forma de encontrarlo es un componente de $Y \cup Z$ .