He leído y he escuchado que eso Electrodinámica de quantum es más fundamental que las ecuaciones maxwells. ¿Cómo vas de la electrodinámica cuántica a las ecuaciones de Maxwell?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Descargo de responsabilidad: Esta es la respuesta se da a partir de una física matemática punto de vista, y es un poco técnico. Cualquier comentario adicional o respuesta desde otros puntos de vista es bienvenido.
El límite clásico de las teorías cuánticas y las teorías cuánticas del campo no es sencillo. Ahora es muy activo, el tema de la investigación en la física matemática y el análisis.
La idea es simple: por su propia construcción, la mecánica cuántica debe reducir a la mecánica clásica en el límite de $\hslash\to 0$. Creo que no es necesario entrar en detalles, sin embargo, para QM este procedimiento es cada día más clara y rigurosa de formar un punto de vista matemático.
Para QFTs, tales como la QED, la situación es similar, aunque más complicado, y puede ser matemáticamente manejado sólo en algunas situaciones. Aunque no se ha demostrado todavía, creo que es posible demostrar la convergencia a la dinámica clásica de un (simple) el modelo de la QED, describiendo rígido cargos de la interacción con el cuantificada EM campo.
El espacio de Hilbert es $\mathscr{H}=L^2(\mathbb{R}^{3})\otimes \Gamma_s(\mathbb{C}^2\otimes L^2(\mathbb{R}^3))$ ($\Gamma_s$ es la simetría del espacio de Fock). El Hamiltoniano describe una extensa carga (con cargo/relación de la masa del $1$), junto con un cuantificada EM campo en el gauge de Coulomb: \begin{equation*} \hat{H}=(\hat{p} - c^{-1} \hat{A}(\hat{x}))^2+\sum_{\lambda=1,2}\hslash\int dk\;\omega(k)a^*(k,\lambda)a(k,\lambda)\; , \end{ecuación*} donde $\hat{p}=-i\sqrt{\hslash}\nabla$ $\hat{x}=i\sqrt{\hslash}x$ son el impulso y la posición de los operadores de la partícula, $a^{\#}(k, \lambda)$ are the annihilation/creation operators of the EM field (in the two polarizations) and $\hat{A}(x)$ es el cuantificada vector potencial \begin{equation*} \hat{A}(x)=\sum_{\lambda=1,2}\int \frac{dk}{(2\pi)^{-3/2}}\;c\sqrt{\hslash/2\lvert k\rvert}\;e_\lambda(k)\chi(k)(a(k,\lambda)e^{ik\cdot x}+a^*(k,\lambda)e^{-ik\cdot x})\; ; \end{ecuación*} con $e_\lambda(k)$ ortonormales de vectores tales que el $k\cdot e_\lambda(k)=0$ (poner en práctica el gauge de Coulomb) y $\chi$ es la transformada de Fourier de la distribución de carga de la partícula. El campo magnético del operador es $\hat{B}(x)=\nabla\times \hat{A}(x)$ e la (perpendicular) el campo eléctrico es $$\hat{E}(x)=\sum_{\lambda=1,2}\int \frac{dk}{(2\pi)^{-3/2}}\;\sqrt{\hslash\lvert k\rvert/2}\;e_\lambda(k)\chi(k)i(a(k,\lambda)e^{ik\cdot x}-a^*(k,\lambda)e^{-ik\cdot x})\; $$
$\hat{H}$ es un auto adjunto del operador en $\mathscr{H}$ si $\chi(k)/\sqrt{\lvert k\rvert}\in L^2(\mathbb{R}^3)$, por lo que no está bien definida la dinámica cuántica $U(t)=e^{-it\hat{H}/\hslash}$. Considere ahora el $\hslash$-dependiente coherente estados \begin{equation*} \lvert C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=\exp\Bigl(i\hslash^{-1/2}(\pi\cdot x+i\xi \cdot\nabla)\Bigr)\otimes\exp\Bigl(\hslash^{-1/2}\sum_{\lambda=1,2}(a^*_\lambda(\alpha_\lambda)-a_\lambda(\bar{\alpha}_\lambda))\Bigr)\Omega\; , \end{ecuación*} donde $\Omega=\Omega_1\otimes\Omega_2$ $\Omega_1\in C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$ (o, en general, regular, suficiente, y con la norma) y $\Omega_2$ la Fock espacio vacío.
Lo que debería ser, al menos, se puede demostrar es que ($\alpha_\lambda$ es la clásica corresponsal de $\sqrt{\hslash}a_\lambda$, y aparece dentro de $E(t,x)$ $B(t,x)$ a continuación): \begin{gather*} \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{p}U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=\pi(t)\\ \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{x}U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=\xi(t)\\ \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{E}(x)U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=E(t,x)\\ \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{B}(x)U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=B(t,x)\; ; \end{reunir*} donde $(\pi(t),\xi(t),E(t,x),B(t,x))$ es la solución de la ecuación clásica de movimiento de un rígido acoplamiento de carga para el campo electromagnético: \begin{equation*} % \left\{ \begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} \partial_t &B + \nabla\times E=0\\ \partial_t &E - \nabla\times B=-j \end{aligned}\right. \mspace{20mu} \left\{\begin{aligned} \nabla\cdot &E=\rho\\ \nabla\cdot &B=0 \end{aligned}\right.\\ &\left\{\begin{aligned} \dot{\xi}&= 2\pi\\ \dot{\pi}&= \frac{1}{2}[(\check{\chi}*E)(\xi)+2\pi\times(\check{\chi}*B)(\xi)] \end{aligned}\right. \end{aligned} % \right. \end{ecuación*} con $j=2\pi\check{\chi}(\xi-x)$, e $\rho=\check{\chi}(\xi-x)$ (densidad de carga y de corriente).
Para resumir: el tiempo se convirtió cuántica observables promedio de más de $\hslash$-dependiente coherente estados convergen en el límite de $\hslash\to 0$ a la correspondiente clásica cantidades, desarrollado por la clásica dinámica.
Esperando que esto no es demasiado técnico, esta imagen da una idea precisa de la correspondencia entre la clásica y la dinámica cuántica de un EM campo junto a un cargo con la ampliación de la distribución (punto de cargos no pueden ser tratados matemáticamente en un completo nivel riguroso tanto de la clásica y la mecánica cuántica).
