¿de qué tamaño es un toro de"unidad"?

Question

Los artículos de Wikipedia sobre la "unidad de la esfera" y "círculo unidad" dicen que la radio es 1. Artículos en la unidad de "la plaza" y "unidad de cubo" dicen que la longitud del lado es de 1. Se puede esperar una unidad de toro para tener mayor radio de 1 o mayor diámetro 1?

Es cierto que, de un toro es un animal diferente que la de una esfera, pero... Se siente más natural para mí que la "unidad" longitud debe aplicar a la (importante) de la radio, no el de diámetro mayor. Sin embargo, recientemente me encontré con el código fuente abierto donde alguien generado una "unidad de toro" de diámetro mayor de 1.

Es que "bastante mal" que debo cambiar (en un paquete de relacionada con los cambios que ya estoy preparando para enviar)? Me puedes dar una más sólida base matemática para abogar por que el cambio? O debo aceptar el status quo como sólo una interpretación legítima de la "unidad de toro"?

Editar:

Veo que de los éxitos como los siguientes

• Análisis espectral de un Virus que se propaga de forma Aleatoria Geométrica Gráficos
• Incondicional de la Prueba de la Boltzmann-Sinai Ergodic Hipótesis
• La tapa tiempo de aleatoria geométrica gráficos
• Dímeros y amebas

que el término "unidad de toro" se utiliza en algunos campos, como los sistemas dinámicos y discreto algoritmos. Pero soy incapaz de contar a partir de estos documentos o resúmenes de lo que los autores entienden exactamente por "unidad de toro". Dímeros y amebas en realidad, da esta definición:

la unidad de toro T₂ = {(z,w) ∈ C₂ : |z| = |w| = 1}

Esta definición parece dar un definitivo tamaño. Pero si es en las dos dimensiones de espacio vectorial sobre los números complejos, no sé cómo se aplican a $\mathbb{R}^3$.

Si "unidad de toro" (en $\mathbb{R}^3$) en realidad se refiere a algo que no tiene ningún tamaño en particular, sería importante saber.

Mi pregunta es, realmente, no uno de la programación, pero de lo que este término significa en matemáticas... incluyendo, ¿en qué grado es lo que realmente define (o no) en matemáticas? Voy a basar mi software de decisiones en base a esa información.

(Etiqueta de este "toro" si yo pudiera crear la etiqueta.)

Answer 1

La unidad de toro (en estos casos) se refiere a un toro de gran radio de $R$ y el radio menor $r$ de la superficie de $4\pi^2 R r=1$. Como tal, es la "unidad de la plaza" con periódicos de las condiciones de contorno.

En aleatorio geométrico de los gráficos, la frontera del dominio juega un papel importante en mucho de teoría de grafos comportamiento. A veces es útil para analizar las gráficas no dentro de la unidad de la plaza, sino en la superficie de un toro con la unidad de área de superficie (recordar que el toro es construido por la costura de los bordes paralelos de un cuadrado). Esto elimina el límite de los efectos sobre el aleatorio geométrico de los gráficos.

Abajo está la unidad de la plaza con dos pequeños obstáculos como las regiones quitado del dominio. Nos podemos preguntar cómo los obstáculos efecto de la conectividad de los gráficos, pero esto puede ser difícil cuando hay "exterior" límite de los efectos que ocultan los efectos de los obstáculos.

Podemos resolver este problema por su trabajo en la superficie de un toro, ya que el único impacto sobre la conectividad es (en cierta medida) de los obstáculos.

Answer 2

Mi mejor conjetura es que la unidad de $d$-toro es el cociente $\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$, dotado con alguna combinación de las siguientes estructuras adicionales dependiendo del campo de las matemáticas en consideración:

• La estructura de un grupo topológico (con la topología cociente y el cociente del grupo de estructura),
• La estructura de un colector de Riemann (con la inducida por la métrica plana; esto significa que no es curvo, por contraste con la inducida por la métrica en la costumbre de toro en $\mathbb{R}^3$)
• La estructura de un espacio de probabilidad.

Ninguna de estas estructuras dependen de una incrustación en $\mathbb{R}^n$. El nombre es por analogía con el caso de $d = 1$, donde se obtiene una descripción de la habitual topológica de la estructura de grupo en el círculo, pero, de nuevo, sin preferida, la integración en $\mathbb{R}^n$. Ninguna de estas estructuras sugieren una buena definición de "unidad de toro" en $\mathbb{R}^3$. En particular, como Willie notas en los comentarios, $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ con la parte plana de la métrica ni siquiera puede isométricamente incrustar en $\mathbb{R}^3$